Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$, có bảng biến thiên như sau. Hỏi đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{f\left( x \right)+2}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $2$.
A. $5$.
B. $4$.
C. $3$.
D. $2$.
Xét phương trình $f\left( x \right)+2=0\Leftrightarrow f\left( x \right)=-2$ số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)+2=0$ bằng số giao điểm của hàm số $y=f\left( x \right)$ với đường thẳng $y=-2.$
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f\left( x \right)+2=0$ có ba nghiệm phân biệt đó là:
${{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}\in \left( 0;2 \right),{{x}_{3}}\in \left( 2;+\infty \right)$
Ta có $\underset{x\Rightarrow -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty ,\underset{x\Rightarrow x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty ,\underset{x\Rightarrow x_{2}^{+}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty $
Suy ra hàm số $y=\dfrac{1}{f\left( x \right)+2}$ có ba đường tiệm cận đứng.
Xét $\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=\dfrac{1}{4};\underset{x\Rightarrow x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty ;\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=0$
Suy ra hàm số $y=\dfrac{1}{f\left( x \right)+2}$ có hai đường tiệm cận ngang.
Vậy hàm số có 5 đường tiệm cận, vì vậy ta chọn đáp án A.
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy phương trình $f\left( x \right)+2=0$ có ba nghiệm phân biệt đó là:
${{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}\in \left( 0;2 \right),{{x}_{3}}\in \left( 2;+\infty \right)$
Ta có $\underset{x\Rightarrow -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty ,\underset{x\Rightarrow x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty ,\underset{x\Rightarrow x_{2}^{+}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty $
Suy ra hàm số $y=\dfrac{1}{f\left( x \right)+2}$ có ba đường tiệm cận đứng.
Xét $\underset{x\Rightarrow -\infty }{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=\dfrac{1}{4};\underset{x\Rightarrow x_{1}^{+}}{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=+\infty ;\underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} \left[ \dfrac{1}{f\left( x \right)+2} \right]=0$
Suy ra hàm số $y=\dfrac{1}{f\left( x \right)+2}$ có hai đường tiệm cận ngang.
Vậy hàm số có 5 đường tiệm cận, vì vậy ta chọn đáp án A.
Đáp án C.