Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Bất phương trình $f\left( x...

Đặt $h\left( x \right)=f\left( x \right)+{{x}^{2}}+3.$
Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng $\forall x\in \left( -1;1 \right)$ khi và chỉ khi $m>\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{\max }} h\left( x \right).$
Ta có: $h'\left( x \right)=f'\left( x \right)+2x,h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x \right)+2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm 1 \\
\end{aligned} \right..$
+) $h'\left( x \right)>0\Leftrightarrow f'\left( x \right)+2x>0\Leftrightarrow f'\left( x \right)>-2x$
+) $h'\left( x \right)<0\Leftrightarrow f'\left( x \right)+2x<0\Leftrightarrow f'\left( x \right)<-2x$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra: $\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+3.$
Vậy $m>f\left( 0 \right)+3.$