Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right).$ Hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-3x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -2;0 \right).$
B. $\left( -1;2 \right).$
C. $\left( 0;4 \right).$
D. $\left( 1;5 \right).$
Hàm số $g\left( x \right)=f\left( x+1 \right)+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-3x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( -2;0 \right).$
B. $\left( -1;2 \right).$
C. $\left( 0;4 \right).$
D. $\left( 1;5 \right).$
Ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x+1 \right)+{{x}^{2}}-3$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x+1 \right)=3-{{x}^{2}}$
Đặt $t=x+1$
Suy ra $f'\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+2$
Gọi $h\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+2\Rightarrow g'\left( t \right)=f'\left( t \right)-h\left( t \right)$
Đồ thị $y=h\left( t \right)$ có đỉnh $I\left( 1;3 \right);t=3\Rightarrow h\left( 3 \right)=-1;t=0\Rightarrow h\left( 0 \right)=2$
Sau khi vẽ $h\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+2$ ta được hình vẽ bên
Hàm số nghịch biến khi $g'\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow f'\left( t \right)-h\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 3$
Suy ra $0\le x+1\le 3\Leftrightarrow -1\le x\le 2$
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;2 \right).$
Cho $g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f'\left( x+1 \right)=3-{{x}^{2}}$
Đặt $t=x+1$
Suy ra $f'\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+2$
Gọi $h\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+2\Rightarrow g'\left( t \right)=f'\left( t \right)-h\left( t \right)$
Đồ thị $y=h\left( t \right)$ có đỉnh $I\left( 1;3 \right);t=3\Rightarrow h\left( 3 \right)=-1;t=0\Rightarrow h\left( 0 \right)=2$
Sau khi vẽ $h\left( t \right)=-{{t}^{2}}+2t+2$ ta được hình vẽ bên
Hàm số nghịch biến khi $g'\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow f'\left( t \right)-h\left( t \right)\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 3$
Suy ra $0\le x+1\le 3\Leftrightarrow -1\le x\le 2$
Vậy hàm số $y=g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -1;2 \right).$
Đáp án B.