Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ phương trình $f\left( \sqrt{2}\sin x+\dfrac{1}{2}\cos x+\dfrac{1}{2} \right)=f\left( m \right)$ có nghiệm.
A. 4.
B. 7.
C. 6.
D. 5.
A. 4.
B. 7.
C. 6.
D. 5.
Đặt $t=\sqrt{2}\sin x+\dfrac{1}{2}\cos x+\dfrac{1}{2},$ ta có:
$t-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\sin x+\dfrac{1}{3}\cos x \right)=\dfrac{3}{2}\left( \sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha \right)$ (Với $\cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{2}}{3})$
$\Leftrightarrow t-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\sin \left( x+\alpha \right).$
Suy ra: $-\dfrac{3}{2}\le t-\dfrac{1}{2}\le \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow -1\le t\le 2.$
Từ đồ thị hàm số suy ra: $t\in \left[ -1;2 \right]\Leftrightarrow -1\le f\left( t \right)\le 5.$
Vậy để phương trình $f\left( \sqrt{2}\sin x+\dfrac{1}{2}\cos x+\dfrac{1}{2} \right)=f\left( m \right)$ có nghiệm thì $-1\le f\left( m \right)\le 5.$
Từ đồ thị suy ra: $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3 \right\}.$ Vậy có 6 giá trị nguyên của $m.$
$t-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\left( \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\sin x+\dfrac{1}{3}\cos x \right)=\dfrac{3}{2}\left( \sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha \right)$ (Với $\cos \alpha =\dfrac{2\sqrt{2}}{3})$
$\Leftrightarrow t-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\sin \left( x+\alpha \right).$
Suy ra: $-\dfrac{3}{2}\le t-\dfrac{1}{2}\le \dfrac{3}{2}\Leftrightarrow -1\le t\le 2.$
Từ đồ thị hàm số suy ra: $t\in \left[ -1;2 \right]\Leftrightarrow -1\le f\left( t \right)\le 5.$
Vậy để phương trình $f\left( \sqrt{2}\sin x+\dfrac{1}{2}\cos x+\dfrac{1}{2} \right)=f\left( m \right)$ có nghiệm thì $-1\le f\left( m \right)\le 5.$
Từ đồ thị suy ra: $m\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3 \right\}.$ Vậy có 6 giá trị nguyên của $m.$
Đáp án C.