Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'\left(x \right)={{m}^{2}}{{x}^{4}}-m\left(m+2 \right){{x}^{3}}+2\left( m+1...

Hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}.$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}{{x}^{4}}-m\left( m+2 \right){{x}^{3}}+2\left( m+1 \right){{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{m}^{2}}{{x}^{3}}-2mx+2x-m \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\left( 1 \right)$
Đặt $g\left( x \right)={{m}^{2}}{{x}^{3}}-2mx+2x-m.$
Từ $\left( 1 \right)$ suy ra $g\left( 1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$
Thử lại, với $m=1$ thì
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}-2x+2x-1 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right),\forall x\in \mathbb{R}.$
Điều này luôn đúng.
Thử lại, với $m=2$ thì
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 2{{x}^{3}}-x-1 \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+{{(x+1)}^{2}} \right),\forall x\in \mathbb{R}.$
Điều này luôn đúng.
Vậy $m=1,m=2$ thỏa mãn bài toán.