Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y={f}'\left( {{x}^{3}}+x+2 \right)$ như hình vẽ sau: Hỏi...

* Nhận xét $y=f\left( \left| x \right| \right)$ là hàm số chẵn nên đề thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng, nên ta xét cực trị phải trục Oy
Xét $x>0$ ta có $y=f\left( \left| x \right| \right)=f\left( x \right)$
* Từ đồ thị hàm số $y=f'\left( {{x}^{3}}+x+2 \right)$ ta thấy
$f'\left( {{x}^{3}}+x+2 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\approx -1.5 \\
& x\approx -0,5 \\
& x\approx 0.9 \\
\end{aligned} \right.$
* Xét $y=f\left( x \right)$ với $x>0$
$y'=f'\left( x \right)$
Đặt $x={{t}^{3}}+t+2=\left( t+1 \right)\left( {{t}^{2}}-t+2 \right);x>0\Rightarrow t>-1$
Khi đó $y'=f'\left( {{t}^{3}}+t+2 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t\approx 1.5 \\
& t\approx -0,5 \\
& t\approx 0.9 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\approx -2.875<0 \\
& x\approx 1.375>0 \\
& x\approx 3.32>0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow y'=f'\left( x \right)$ có 2 nghiệm dương
$\Rightarrow $ đồ thị $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị bên phải Oy.
$\Rightarrow y=f\left( \left| x \right| \right)$ có 5 cực trị (2 cực trị bên phải + 2 cực trị bên trái + 1 giao với trục Oy).