Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)={(x-1)}^2(x^2-2x),$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$...

Ta có $y^{\prime }=(2x-8)f^{\prime }(x^2-8x+m).$ Hàm số $y=f(x^2-8x+m)$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $f^{\prime }(x^2-8x+m)=0$ có bốn nghiệm phân biệt khác 4. Mà $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có hai nghiệm đơn là $x=0$ và $x=2$ nên $f^{\prime }(x^2-8x+m)=0\iff [\begin{array}{rl}& x^2-8x+m=0\\ & x^2-8x+m=2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x^2-8x+m=0\\ & x^2-8x+m-2=0\end{array}$ có bốn nghiệm phân biệt khác 4 khi và chỉ khi $\{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=16-m>0\\ & 16-32+m\ne 0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=16-m+2>0\\ & 16-32+m-2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& m<16\\ & m\ne 16\\ & m<18\\ & m\ne 18\end{array}\iff m<16.$
Kết hợp điều kiện $m$ nguyên dương nên có 15 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài ra.