Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right),$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$...

Ta có $y'=\left( 2x-8 \right)f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right).$ Hàm số $y=f\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)$ có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình $f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0$ có bốn nghiệm phân biệt khác 4. Mà $f'\left( x \right)=0$ có hai nghiệm đơn là $x=0$ và $x=2$ nên $f'\left( {{x}^{2}}-8x+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-8x+m=0 \\
& {{x}^{2}}-8x+m=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-8x+m=0 \\
& {{x}^{2}}-8x+m-2=0 \\
\end{aligned} \right. $ có bốn nghiệm phân biệt khác 4 khi và chỉ khi $ \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '=16-m>0 \\
& 16-32+m\ne 0 \\
& \Delta '=16-m+2>0 \\
& 16-32+m-2\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<16 \\
& m\ne 16 \\
& m<18 \\
& m\ne 18 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m<16.$
Kết hợp điều kiện $m$ nguyên dương nên có 15 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn bài ra.