Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Biết $f\left(2\right)+f\left(6\right)=2f\left(3\right).$ Tập nghiệm của...

Theo đề bài $f\left(2\right)+f\left(6\right)=2f\left(3\right)\iff f\left(2\right)-f\left(3\right)=f\left(3\right)-f\left(6\right).$
Do $f\left(2\right)<f\left(3\right)\Rightarrow f\left(3\right)-f\left(6\right)<0\iff f\left(3\right)<f\left(6\right).$
Do $X=x^2+1\ge 1.$

Ta có bảng biến thiên
Ta có $f(x^2+1)=f\left(3\right)\iff [\begin{array}{rl}& x^2+1=3\\ & x^2+1=b(4<b<6)\left(2\right)\end{array}.$
Xét đồ thị hàm số $y=x^2+1\left(P\right).$

Dựa vào đồ thị $\left(P\right)$ suy ra:
+ Phương trình $x^2+1=a$ vô nghiệm.
+ Phương trình $x^2+1=3$ có 2 nghiệm phân biệt.
+ Phương trình $x^2+1=b$ có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình $f(x^2+1)=f\left(3\right)$ có 4 nghiệm phân biệt.