Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}(m+3)x^2+m^{2}x+1.$ Có bao nhiêu số thực $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x=1?$

Ta có $y^{\prime }=x^2-(m+3)x+m^2.$
Hàm số đạt cực trị tại $x=1$ nên $y^{\prime }\left(1\right)=0\iff 1^2-(m+3).1+m^2=0\iff [\begin{array}{rl}& m=2\\ & m=-1\end{array}.$
Kiểm tra
Với $m=2$ ta có $y^{\prime }=x^2-5x+4.$
Cho $y^{\prime }=0\iff x^2-5x+4=0\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & x=4\end{array}.$
Do $x=1$ là nghiệm đơn của phương trình $y^{\prime }=0$ nên $x=1$ là cực trị của hàm số. Do đó $m=2$ thỏa mãn.
Với $m=-1$ ta có $y^{\prime }=x^2-2x+1.$
Cho $y^{\prime }=0\iff x^2-2x+1=0\iff x=1.$
Do $x=1$ là nghiệm kép của phương trình $y^{\prime }=0$ nên $x=1$ không là cực trị của hàm số. Do đó $m=-1$ không thỏa mãn.
Vậy có 1 số thực $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x=1.$