Google
Câu hỏi: Cho hàm số trùng phương $y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}-8x}{{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+2f\left( x \right)-3}$ có tổng cộng bao nhiêu tiệm cận đứng?
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 4.
Ta có ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+2f\left( x \right)-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=1 \\
& f\left( x \right)=-3 \\
\end{aligned} \right..$
Phương trình $f\left( x \right)=1$ có nghiệm $x=0,x=m,x=n$ trong đó $x=0$ là nghiệm kép.
Do đó $f\left( x \right)-1=a{{x}^{2}}\left( x-m \right)\left( x-n \right).$
Phương trình $f\left( x \right)=-3$ có 2 nghiệm kép $x=2,x=-2.$
Do đó $f\left( x \right)+3=a{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( x+2 \right)}^{2}}.$
Vì vậy ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+2f\left( x \right)-3={{a}^{2}}{{x}^{2}}\left( x-m \right)\left( x-n \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}.$
Khi đó ta được hàm số $y=\dfrac{x\left( x-2 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}{{x}^{2}}\left( x-m \right)\left( x-n \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}}.$
$\underset{x\Rightarrow {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty $ nên đương thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\Rightarrow {{m}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty $ nên đường thẳng $x=m$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\Rightarrow {{n}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty $ nên đường thẳng $x=n$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\Rightarrow {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $ nên đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\Rightarrow -2}{\mathop{\lim }} y=\dfrac{-4}{{{a}^{2}}8\left( -2-m \right)\left( -2-n \right)}$ nên đường thẳng $x=-2$ không là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 tiệm cận đứng.
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 4.
Ta có ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+2f\left( x \right)-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=1 \\
& f\left( x \right)=-3 \\
\end{aligned} \right..$
Phương trình $f\left( x \right)=1$ có nghiệm $x=0,x=m,x=n$ trong đó $x=0$ là nghiệm kép.
Do đó $f\left( x \right)-1=a{{x}^{2}}\left( x-m \right)\left( x-n \right).$
Phương trình $f\left( x \right)=-3$ có 2 nghiệm kép $x=2,x=-2.$
Do đó $f\left( x \right)+3=a{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( x+2 \right)}^{2}}.$
Vì vậy ${{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}+2f\left( x \right)-3={{a}^{2}}{{x}^{2}}\left( x-m \right)\left( x-n \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}.$
Khi đó ta được hàm số $y=\dfrac{x\left( x-2 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}{{x}^{2}}\left( x-m \right)\left( x-n \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}}.$
$\underset{x\Rightarrow {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty $ nên đương thẳng $x=0$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\Rightarrow {{m}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty $ nên đường thẳng $x=m$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\Rightarrow {{n}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=+\infty $ nên đường thẳng $x=n$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\Rightarrow {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=-\infty $ nên đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng.
$\underset{x\Rightarrow -2}{\mathop{\lim }} y=\dfrac{-4}{{{a}^{2}}8\left( -2-m \right)\left( -2-n \right)}$ nên đường thẳng $x=-2$ không là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 tiệm cận đứng.
Đáp án D.