Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[2;4]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình...

Ta có: $x+2\sqrt{x^2-2x}=mf\left(x\right)\iff m={\displaystyle \frac{x+2\sqrt{x^2-2x}}{f\left(x\right)}}$
Số nghiệm của phương trình $m={\displaystyle \frac{x+2\sqrt{x^2-2x}}{f\left(x\right)}}$ bằng số giao điểm của hàm số $y={\displaystyle \frac{x+2\sqrt{x^2-2x}}{f\left(x\right)}}$ với đường thẳng $y=m.$
Đặt $g\left(x\right)=x+2\sqrt{x^2-2x}$
Ta có $\underset{[2;4]}{min}g\left(x\right)=2$ tại $x=2,$ $\underset{[2;4]}{max}g\left(x\right)=4+4\sqrt{2}$ tại $x=4$
$\underset{[2;4]}{min}f\left(x\right)=2$ tại $x=4,\underset{[2;4]}{max}f\left(x\right)=4$ tại $x=2$
Do $\underset{[2;4]}{min}g\left(x\right)=2$ và $\underset{[2;4]}{max}f\left(x\right)=4$ đều đồng thời xảy ra tại $x=2$
Suy ra: $\underset{[2;4]}{min}\left({\displaystyle \frac{x+2\sqrt{x^2-2x}}{f\left(x\right)}}\right)={\displaystyle \frac{\underset{[2;4]}{min}g\left(x\right)}{\underset{[2;4]}{max}f\left(x\right)}}={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
Do $\underset{[2;4]}{min}f\left(x\right)=2$ và $\underset{[2;4]}{max}g\left(x\right)=4+4\sqrt{2}$ đều đồng thời xảy ra tại $x=4$
Suy ra: $\underset{[2;4]}{max}\left({\displaystyle \frac{x+2\sqrt{x^2-2x}}{f\left(x\right)}}\right)={\displaystyle \frac{\underset{[2;4]}{max}g\left(x\right)}{\underset{[2;4]}{min}f\left(x\right)}}={\displaystyle \frac{4+4\sqrt{2}}{2}}=2+2\sqrt{2}$
Mà hàm số $y={\displaystyle \frac{x+2\sqrt{x^2-2x}}{f\left(x\right)}}$ liên tục trên đoạn $[2;4].$
Vậy ${\displaystyle \frac{1}{2}}\le m\le 2+2\sqrt{2},$ mà $m$ nguyên nên $m$ nhận các giá trị $\{1;2;3;4\}$ nên chọn đáp án D.