Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\left[ 2;4 \right]$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}=m.f(x)$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 2;4 \right]$ ?
A. $3$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $4$.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}=m.f(x)$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 2;4 \right]$ ? A. $3$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $4$.
Ta có: $x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}=mf\left( x \right)\Leftrightarrow m=\dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}$
Số nghiệm của phương trình $m=\dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}$ bằng số giao điểm của hàm số $y=\dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}$ với đường thẳng $y=m.$
Đặt $g\left( x \right)=x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$
Ta có $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=2$ tại $x=2,$ $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=4+4\sqrt{2}$ tại $x=4$
$\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=2$ tại $x=4,\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=4$ tại $x=2$
Do $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=2$ và $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=4$ đều đồng thời xảy ra tại $x=2$
Suy ra: $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} \left( \dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)} \right)=\dfrac{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)}{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
Do $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=2$ và $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=4+4\sqrt{2}$ đều đồng thời xảy ra tại $x=4$
Suy ra: $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} \left( \dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)} \right)=\dfrac{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)}{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)}=\dfrac{4+4\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}$
Mà hàm số $y=\dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}$ liên tục trên đoạn $\left[ 2;4 \right].$
Vậy $\dfrac{1}{2}\le m\le 2+2\sqrt{2},$ mà $m$ nguyên nên $m$ nhận các giá trị $\left\{ 1;2;3;4 \right\}$ nên chọn đáp án D.
Số nghiệm của phương trình $m=\dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}$ bằng số giao điểm của hàm số $y=\dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}$ với đường thẳng $y=m.$
Đặt $g\left( x \right)=x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$
Ta có $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=2$ tại $x=2,$ $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=4+4\sqrt{2}$ tại $x=4$
$\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=2$ tại $x=4,\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=4$ tại $x=2$
Do $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=2$ và $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=4$ đều đồng thời xảy ra tại $x=2$
Suy ra: $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} \left( \dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)} \right)=\dfrac{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)}{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
Do $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=2$ và $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=4+4\sqrt{2}$ đều đồng thời xảy ra tại $x=4$
Suy ra: $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} \left( \dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)} \right)=\dfrac{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)}{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)}=\dfrac{4+4\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}$
Mà hàm số $y=\dfrac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}$ liên tục trên đoạn $\left[ 2;4 \right].$
Vậy $\dfrac{1}{2}\le m\le 2+2\sqrt{2},$ mà $m$ nguyên nên $m$ nhận các giá trị $\left\{ 1;2;3;4 \right\}$ nên chọn đáp án D.
Đáp án D.