Google
Câu hỏi: Cho hàm số f x liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R},f\left( 2 \right)=16$ và $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx=4}$. Tích phân $\int\limits_{0}^{4}{xf'\left( \dfrac{x}{2} \right)dx}$ bằng:
A. 112
B. 12
C. 56
D. 144
A. 112
B. 12
C. 56
D. 144
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Giải chi tiết:
Đặt $t=\dfrac{x}{2} \Rightarrow x=2 t \Rightarrow d x=2 d t$
Đổi cận:
Do đó, $\int_{0}^{4} x f^{\prime}\left(\dfrac{x}{2}\right) d x=\int_{0}^{2} 2 t . f^{\prime}(t) .2 d t=\int_{0}^{2} 4 t f^{\prime}(t) d t=\int_{0}^{2} 4 x f^{\prime}(x) d x$
Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=4 x \\ d v=f^{\prime}(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=4 d x \\ v=f(x)\end{array}\right.\right.$
Suy ra, $\int_{0}^{4} 4 x f^{\prime}(x)=\left.4 x f(x)\right|_{0} ^{2}-\int_{0}^{2} 4 f(x) d x=8 f(2)-4 \int_{0}^{2} f(x) d x=8.16-4.4=112$
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Giải chi tiết:
Đặt $t=\dfrac{x}{2} \Rightarrow x=2 t \Rightarrow d x=2 d t$
Đổi cận:
| x | 0 | 4 |
| t | 0 | 2 |
Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=4 x \\ d v=f^{\prime}(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d u=4 d x \\ v=f(x)\end{array}\right.\right.$
Suy ra, $\int_{0}^{4} 4 x f^{\prime}(x)=\left.4 x f(x)\right|_{0} ^{2}-\int_{0}^{2} 4 f(x) d x=8 f(2)-4 \int_{0}^{2} f(x) d x=8.16-4.4=112$
Đáp án A.