Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+nx-1$ với $m,n$ là các tham số thực thỏa mãn $m+n>0$ và $7+2\left( 2m+n \right)<0.$ Tìm số điểm...

Giả thiết $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+nx-1 \\
& m+n>0 \\
& 7+2\left( 2m+n \right)<0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right)=-2 \\
& f\left( 1 \right)=m+n>0 \\
& f\left( 2 \right)=7+2\left( 2m+n \right)<0 \\
& \underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( 0 \right).f\left( 1 \right)<0 \\
& f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)<0 \\
& f\left( 2 \right)<0 \\
& \underset{x\Rightarrow +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty \\
\end{aligned} \right. $ (với lại $ f\left( x \right) $ liên tục trên $ \mathbb{R})$
$\Rightarrow f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm lần lượt là ${{x}_{1}}\in \left( 0;1 \right),{{x}_{2}}\in \left( 1;2 \right),{{x}_{3}}\in \left( 2;+\infty \right)$
(do $f\left( x \right)$ là đa thức bậc ba nên có tối đa 3 nghiệm.)
Như vậy đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị đều nằm bên phải trục tung.
Ta phác họa đồ thị $y=f\left( x \right)$ như sau

Từ đó suy ra đồ thị $y=f\left( \left| x \right| \right)$ như hình bên dưới

Cuối cùng, đồ thị của hàm số $y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|$ như sau

Kết luận, đồ thị hàm số $y=\left| f\left( \left| x \right| \right) \right|$ có 11 điểm cực trị.