Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1.$ Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\left| f\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)+m \right|$ có giá trị nhỏ nhất không vượt quá $5?$
A. 30
B. 32
C. 31
D. 29
A. 30
B. 32
C. 31
D. 29
Phương pháp giải:
Áp dụng bổ đề: Cho hàm số $f\left( x \right),$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=A \\
\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=B \\
\end{array} \right. $⇒ Tìm $ \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=?$
TH1: Nếu $AB\le 0$ $\Rightarrow \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0.$
TH2: Nếu $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A>0 \\
B>0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=A.$
TH3: Nếu $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A<0 \\
B<0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=-B.$
Giải chi tiết:
Đặt $t=\sin x+\sqrt{3}\cos x$
Ta có: $t=2\left( \dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right)=2\sin \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)\Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right].$
Khi đó ta có: $y=\left| f\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)+m \right|=\left| {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+1+m \right|$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+m+1$ trên $\left[ -2;2 \right]$ ta được:
${g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t\Rightarrow {g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
t=0 \\
t=2 \\
\end{array} \right.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
g\left( -2 \right)=m-19 \\
g\left( 0 \right)=m+1 \\
g\left( 2 \right)=m-3 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=m-19 \\
\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=m+1 \\
\end{array} \right.$
TH1: $\left( m+1 \right)\left( m-19 \right)\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 19$ $\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| g\left( t \right) \right|=0$
⇒ Có 21 giá trị m thỏa mãn bài toán.
TH2: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m-19>0 \\
m+1>0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m>19 $ $ \Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| g\left( t \right) \right|=m-19$
$\Rightarrow m-19\le 5\Leftrightarrow m\le 24\Rightarrow 19<m\le 24$
$\Rightarrow m\in \left\{ 20;21;22;23;24 \right\}$
⇒ Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán.
TH3: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m-19<0 \\
m+1<0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m<-1 $ $ \Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| g\left( t \right) \right|=-\left( m+1 \right)$
$\Rightarrow -m-1\le 5\Leftrightarrow m\ge -6\Rightarrow -6\le m<-1$
$\Rightarrow m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2 \right\}$
⇒ Có 5 giá trị thỏa mãn bài toán.
Vậy có: $21+5+5=31$ giá trị thỏa mãn bài toán.
Áp dụng bổ đề: Cho hàm số $f\left( x \right),$ liên tục trên $\left[ a;b \right]$ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=A \\
\underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=B \\
\end{array} \right. $⇒ Tìm $ \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=?$
TH1: Nếu $AB\le 0$ $\Rightarrow \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=0.$
TH2: Nếu $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A>0 \\
B>0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=A.$
TH3: Nếu $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A<0 \\
B<0 \\
\end{array} \right.\Rightarrow \underset{\left[ a;b \right]}{\mathop{\min }} \left| f\left( x \right) \right|=-B.$
Giải chi tiết:
Đặt $t=\sin x+\sqrt{3}\cos x$
Ta có: $t=2\left( \dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x \right)=2\sin \left( x+\dfrac{\pi }{3} \right)\Rightarrow t\in \left[ -2;2 \right].$
Khi đó ta có: $y=\left| f\left( \sin x+\sqrt{3}\cos x \right)+m \right|=\left| {{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+1+m \right|$
Xét hàm số $g\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+m+1$ trên $\left[ -2;2 \right]$ ta được:
${g}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-6t\Rightarrow {g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-6t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
t=0 \\
t=2 \\
\end{array} \right.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
g\left( -2 \right)=m-19 \\
g\left( 0 \right)=m+1 \\
g\left( 2 \right)=m-3 \\
\end{array} \right. $ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( t \right)=m-19 \\
\underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( t \right)=m+1 \\
\end{array} \right.$
TH1: $\left( m+1 \right)\left( m-19 \right)\le 0\Leftrightarrow -1\le m\le 19$ $\Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| g\left( t \right) \right|=0$
⇒ Có 21 giá trị m thỏa mãn bài toán.
TH2: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m-19>0 \\
m+1>0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m>19 $ $ \Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| g\left( t \right) \right|=m-19$
$\Rightarrow m-19\le 5\Leftrightarrow m\le 24\Rightarrow 19<m\le 24$
$\Rightarrow m\in \left\{ 20;21;22;23;24 \right\}$
⇒ Có 5 giá trị m thỏa mãn bài toán.
TH3: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
m-19<0 \\
m+1<0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow m<-1 $ $ \Rightarrow \underset{\left[ -2;2 \right]}{\mathop{\min }} \left| g\left( t \right) \right|=-\left( m+1 \right)$
$\Rightarrow -m-1\le 5\Leftrightarrow m\ge -6\Rightarrow -6\le m<-1$
$\Rightarrow m\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2 \right\}$
⇒ Có 5 giá trị thỏa mãn bài toán.
Vậy có: $21+5+5=31$ giá trị thỏa mãn bài toán.
Đáp án C.