Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln 2020-\ln \left( \dfrac{x+1}{x} \right)$. Tính $S={f}'\left(1 \right)+{f}'\left(2 \right)+...+{f}'\left( 2020...

Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức $\ln \left( \dfrac{a}{b} \right)=\ln a-\ln b$.
- Sử dụng công thức tính đạo hàm ${{\left( \ln u \right)}^{\prime }}=\dfrac{{{u}'}}{u}$.
- Thay lần lượt $x=1;2;...;2020$, rút gọn và tính S.
Giải chi tiết:
Ta có: $f\left( x \right)=\ln 2020-\ln \left( \dfrac{x+1}{x} \right)=\ln 2020-\ln \left( x+1 \right)+\ln x$
$\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$
Khi đó ta có:
$S={f}'\left( 1 \right)+{f}'\left( 2 \right)+...+{f}'\left( 2020 \right)$
$S=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2021}$
$S=1-\dfrac{1}{2021}=\dfrac{2020}{2021}$