Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left( x+2a \right)\left( x+2b-a \right)\left( ax+1 \right)$. Có bao nhiêu cặp $\left( a;b \right)$ để hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. vô số.
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. vô số.
TH1: $a=0$, hàm số $f\left( x \right)$ là hàm số bậc hai, không thể đồng biến trên $\mathbb{R}$.
TH2: $a\ne 0$, hàm số $f\left( x \right)$ là hàm bậc 3.
Để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $a>0$ và $f\left( x \right)=0$ có duy nhất một nghiệm trên $\mathbb{R}$.
Suy ra
$-2a=a-2b=-\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2a=\dfrac{-1}{a} \\
& a-2b=-\dfrac{1}{a} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& a=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& 2b=a+\dfrac{1}{a} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& b=\dfrac{3}{2\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy chọn B
TH2: $a\ne 0$, hàm số $f\left( x \right)$ là hàm bậc 3.
Để $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $a>0$ và $f\left( x \right)=0$ có duy nhất một nghiệm trên $\mathbb{R}$.
Suy ra
$-2a=a-2b=-\dfrac{1}{a}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2a=\dfrac{-1}{a} \\
& a-2b=-\dfrac{1}{a} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& a=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& 2b=a+\dfrac{1}{a} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& b=\dfrac{3}{2\sqrt{2}} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy chọn B
Đáp án B.