Cho hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e,\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị của đạo hàm $f'\left( x \right)$ như hình vẽ...

Ta có:

Xét phương trình

Từ đồ thị ta có phương trình có 3 nghiệm phân biệt
Xét phương trình (2).
Trước hết ta có:

Suy ra:


Số nghiệm của hai phương trình và lần lượt bằng số giao điểm của hai đường thẳng và (trong đó với đồ thị hàm số



Từ đồ thị hàm số suy ra:
+) nên nên
Bảng biến thiên của hàm số
Từ bảng biến thiên suy ra hai phương trình mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt (hai phương trình không có nghiệm trùng nhau) và khác
Suy ra phương trình có 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số có 7 điểm cực trị.