Cho hàm số có bảng biến thiên như sau. Tổng các giá trị nguyên của $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt bằng:

Từ bảng biến thiên ta có để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì $-4<m<2.$ Do đó các giá trị $m$ nguyên thỏa mãn bài toán là $-3;-2;-1;0;1.$
Vậy tổng các giá trị nguyên của $m$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt bằng: $-5.$