Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $2 y^{3} + 7 y + 2 x \sqrt{1 - x} = 3 \sqrt{1 - x} + 3 (2 y^{2} + 1) .$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = x + 2 y .$

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Cho hai số thực

x, y

thỏa mãn

2 y^{3} + 7 y + 2 x \sqrt{1 - x} = 3 \sqrt{1 - x} + 3 (2 y^{2} + 1) .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = x + 2 y .

A.

P = 8.

B.

P = 4.

C.

P = 10.

D.

P = 6.

Điều kiện:

x \leq 1.

Ta có:

2 y^{3} + 7 y + 2 x \sqrt{1 - x} = 3 \sqrt{1 - x} + 3 (2 y^{2} + 1)

\Leftrightarrow 2 {(y - 1)}^{3} + y - 1 = 2 {(\sqrt{1 - x})}^{3} + \sqrt{1 - x} (*)

Xét hàm số

f (t) = 2 t^{3} + t,

ta có:

f^{'} (t) = 6 t^{2} + 1 > 0 \forall t \in R,

suy ra hàm số

f (t)

đồng biến.

(*) \Leftrightarrow f (y - 1) = f (\sqrt{1 - x}) \Leftrightarrow y - 1 = \sqrt{1 - x} \Leftrightarrow {\begin{aligned} y \geq 1 \\ x = 1 - {(y - 1)}^{2} \end{aligned}

Khi đó

P = x + 2 y = 1 - {(y - 1)}^{2} + 2 y = 4 - {(y - 2)}^{2} \leq 4.

Vậy

P_{max} = 4 \Leftrightarrow {\begin{aligned} x = 0 \\ y = 2 \end{aligned} .

Đáp án B.

Cho hai số thực x,y thỏa mãn 2y3+7y+2x1−x=31−x+3(2y2+1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x+2y.