Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right).$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x+2y.$

Điều kiện: $x\le 1.$
Ta có: $2{{y}^{3}}+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3\left( 2{{y}^{2}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow 2{{\left( y-1 \right)}^{3}}+y-1=2{{\left( \sqrt{1-x} \right)}^{3}}+\sqrt{1-x}\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)=2{{t}^{3}}+t,$ ta có: $f'\left( t \right)=6{{t}^{2}}+1>0\forall \text{t}\in \mathbb{R},$ suy ra hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến.
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( y-1 \right)=f\left( \sqrt{1-x} \right)\Leftrightarrow y-1=\sqrt{1-x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y\ge 1 \\
& x=1-{{\left( y-1 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $P=x+2y=1-{{\left( y-1 \right)}^{2}}+2y=4-{{\left( y-2 \right)}^{2}}\le 4.$
Vậy ${{P}_{\max }}=4\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x=0 \\
& y=2 \\
\end{aligned} \right..$