Google
Câu hỏi: Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn $1>a\ge b>0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $T=\log _{a}^{2}b+{{\log }_{ab}}{{a}^{36}}$
A. ${{T}_{\min }}=\dfrac{-2279}{16}$
B. ${{T}_{\min }}=13.$
C. ${{T}_{\min }}=16.$
D. ${{T}_{\min }}=19.$
A. ${{T}_{\min }}=\dfrac{-2279}{16}$
B. ${{T}_{\min }}=13.$
C. ${{T}_{\min }}=16.$
D. ${{T}_{\min }}=19.$
Ta có $T=\log _{a}^{2}b+{{\log }_{ab}}{{a}^{36}}$
$=\log _{a}^{2}b+36.\dfrac{1}{{{\log }_{a}}ab}$
$=\log _{a}^{2}b+\dfrac{36}{1+{{\log }_{a}}b}$
Đặt $t={{\log }_{a}}b$
Vì $0<b\le a<1$ nên ${{\log }_{a}}b\ge {{\log }_{a}}a\Rightarrow t\ge 1.$
Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{2}}+\dfrac{36}{1+t}$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$
$f'\left( t \right)=2t-\dfrac{36}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}},f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có ${{T}_{\min }}=16$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow b={{a}^{2}}.$
$=\log _{a}^{2}b+36.\dfrac{1}{{{\log }_{a}}ab}$
$=\log _{a}^{2}b+\dfrac{36}{1+{{\log }_{a}}b}$
Đặt $t={{\log }_{a}}b$
Vì $0<b\le a<1$ nên ${{\log }_{a}}b\ge {{\log }_{a}}a\Rightarrow t\ge 1.$
Xét hàm $f\left( t \right)={{t}^{2}}+\dfrac{36}{1+t}$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$
$f'\left( t \right)=2t-\dfrac{36}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}},f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2$
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có ${{T}_{\min }}=16$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow b={{a}^{2}}.$
Đáp án C.