Google
Câu hỏi: Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số ${{x}_{1}}=A\cos (10\pi t)$ cm và $x_{2}=A \cos (10 \pi t+\varphi)$ $\mathrm{cm}, t$ được tính bằng giây; với $A$ là một hằng số dương.. Đặt $X=x_{1} x_{2}$, một phần đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa $X$ và $x_{1}$ được cho như hình vẽ.
Vận tốc tương đối giữa hai dao động này có độ lớn cực đại gần nhất giá trị nào sau đây?
A. $32 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
B. $36 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
C. $40 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
D. $44 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
$\dfrac{{{x}_{1}}}{6{{x}_{1}}/5}=\dfrac{\cos (-3\alpha )}{\cos (-\alpha )}\Rightarrow \dfrac{5}{6}=\dfrac{4{{\cos }^{3}}\alpha -3\cos \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \cos \alpha =\dfrac{\sqrt{138}}{12}\xrightarrow{\Delta \varphi =2\alpha }\cos \Delta \varphi =\dfrac{11}{12}$
${{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}_{\max }}=\dfrac{1}{2}{{A}^{2}}\left( \cos \Delta \varphi +1 \right)\Rightarrow 8=\dfrac{1}{2}{{A}^{2}}\left( \dfrac{11}{12}+1 \right)\Rightarrow A\approx 2,89cm$
${{v}_{1\max }}={{v}_{2\max }}=\omega A=10\pi .2,89\approx 90,8cm/s$
$\Delta {{v}_{\max }}=\sqrt{v_{1\max }^{2}+v_{2\max }^{2}-2{{v}_{1\max }}{{v}_{2\max }}\cos \Delta \varphi }=\sqrt{90,{{8}^{2}}+90,{{8}^{2}}-2.90,{{8}^{2}}.11/12}\approx 37cm/s$.
Chú thích:
(1) Từ đồ thị có ${{x}_{1}}$ tăng 6/5 lần thì $X={{x}_{1}}{{x}_{2}}$ tăng 6/5 lần nên ${{x}_{2}}$ không đổi.
(2) ${{x}_{2}}$ không đổi nên pha ${{\varphi }_{2}}$ thay đổi từ $-\alpha $ đến $\alpha $
(3) ${{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}_{\max }}$ thì pha của ${{\varphi }_{1}}$ và ${{\varphi }_{2}}$ đối nhau. Chứng minh như sau:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}} \\
& {{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}{{A}_{1}}{{A}_{2}}\left[ \cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Vì độ lệch pha ${{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}$ không đổi nên ${{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \cos \left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=1\Rightarrow {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}=0$ (pha đối nhau)
(4) Trong cùng một khoảng thời gian, vật 2 quét được góc $2\alpha $ thì vật 1 cũng quét được góc $2\alpha $
A. $32 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
B. $36 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
C. $40 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
D. $44 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$.
| ${{x}_{1}}$ | ${{\varphi }_{1}}$ | ${{x}_{2}}$ | ${{\varphi }_{2}}$ |
| ${{x}_{1}}$ (1) | $-3\alpha $ (4) | ${{x}_{2}}$ (1) | $-\alpha $ (2) |
| $6{{x}_{1}}/5$ (1) | $-\alpha $ (3) | ${{x}_{2}}$ (1) | $\alpha $ (2) |
${{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}_{\max }}=\dfrac{1}{2}{{A}^{2}}\left( \cos \Delta \varphi +1 \right)\Rightarrow 8=\dfrac{1}{2}{{A}^{2}}\left( \dfrac{11}{12}+1 \right)\Rightarrow A\approx 2,89cm$
${{v}_{1\max }}={{v}_{2\max }}=\omega A=10\pi .2,89\approx 90,8cm/s$
$\Delta {{v}_{\max }}=\sqrt{v_{1\max }^{2}+v_{2\max }^{2}-2{{v}_{1\max }}{{v}_{2\max }}\cos \Delta \varphi }=\sqrt{90,{{8}^{2}}+90,{{8}^{2}}-2.90,{{8}^{2}}.11/12}\approx 37cm/s$.
Chú thích:
(1) Từ đồ thị có ${{x}_{1}}$ tăng 6/5 lần thì $X={{x}_{1}}{{x}_{2}}$ tăng 6/5 lần nên ${{x}_{2}}$ không đổi.
(2) ${{x}_{2}}$ không đổi nên pha ${{\varphi }_{2}}$ thay đổi từ $-\alpha $ đến $\alpha $
(3) ${{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}_{\max }}$ thì pha của ${{\varphi }_{1}}$ và ${{\varphi }_{2}}$ đối nhau. Chứng minh như sau:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos {{\varphi }_{1}} \\
& {{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos {{\varphi }_{2}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}{{A}_{1}}{{A}_{2}}\left[ \cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)+\cos \left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right) \right]$
Vì độ lệch pha ${{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}$ không đổi nên ${{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}_{\max }}\Leftrightarrow \cos \left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}} \right)=1\Rightarrow {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}=0$ (pha đối nhau)
(4) Trong cùng một khoảng thời gian, vật 2 quét được góc $2\alpha $ thì vật 1 cũng quét được góc $2\alpha $
Đáp án B.