Cho $f\left(x\right)=\sqrt{x^2-2x+4}-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+2020$ và $h\left(x\right)=f(3\sin x).$ Số nghiệm thuộc đoạn $\left[...

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-1}{\sqrt{{(x-1)}^2+2}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}},h^{\prime }\left(x\right)=3\cos x.f^{\prime }(3\sin x).$
Phương trình: $h^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{rl}& \cos x=0\left(1\right)\\ & f^{\prime }(3\sin x)=0\left(2\right)\end{array}$
$\left(1\right)\iff \cos x=0\iff x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi (k\in \mathbb{Z}).$
Với $x\in [{\displaystyle \frac{\pi }{6}};6\pi ],$ suy ra $\iff \{\begin{array}{rl}& k\in \mathbb{Z}\\ & {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k\pi \le 6\pi \end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& k\in \mathbb{Z}\\ & -{\displaystyle \frac{1}{3}}\le k\le {\displaystyle \frac{11}{2}}\end{array}\iff k\in \{0;1;2;3;4;5\}.$
Trên đoạn $[{\displaystyle \frac{\pi }{6}};6\pi ]$ phương trình $\left(1\right)$ có 6 nghiệm.
$\left(2\right)\iff f^{\prime }(3\sin x)=0\iff {\displaystyle \frac{3\sin x-1}{\sqrt{{(3\sin x-1)}^2+2}}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0\iff 2(3\sin x-1)=\sqrt{{(3\sin x-1)}^2+2}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& \sin x>{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & 4{(3\sin x-1)}^2={(3\sin x-1)}^2+2\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& \sin x>{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & {(3\sin x-1)}^2={\displaystyle \frac{2}{3}}\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& \sin x>{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & \sin x={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{6}}{9}}\end{array}\Rightarrow \sin x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{6}}{9}}(\approx 0.605)$
Mặt khác: $\sin x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{6}}{9}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ nên:
+) Trên $[{\displaystyle \frac{\pi }{6}};6\pi ]$ thì phương trình $\sin x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{6}}{9}}$ cho hai nghiệm.
+) Trên mỗi chu kỳ $2\pi$ thì phương trình $\sin x={\displaystyle \frac{3+\sqrt{6}}{9}}$ cũng cho hai nghiệm.
Suy ra trên $[{\displaystyle \frac{\pi }{6}};6\pi ]$ thì phương trình (2) cho 6 nghiệm.
Vậy trên $[{\displaystyle \frac{\pi }{6}};6\pi ]$ thì phương trình $h^{\prime }\left(x\right)=0$ cho 12 nghiệm.