Google
Câu hỏi: Cho đoạn mạch AB theo thứ tự gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, hộp kín X và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp. Gọi M là điểm nối giữa L và X, N là điểm nối giữa X và C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều $u={{U}_{0}}.\cos \omega t(V)$ với ω thỏa mãn điều kiện $LC{{\omega }^{2}}=1.$ Khi đó điện áp hiệu dụng của đoạn mạch AN gấp $\sqrt{3}$ lần điện áp hiệu dụng của đoạn mạch MB. Độ lệch pha nhỏ nhất giữa điện áp ở hai đầu cuộn dây và hai đầu đoạn mạch X bằng bao nhiêu?
A. $\dfrac{\pi }{6}rad$
B. $\dfrac{\pi }{3}rad$
C. $\dfrac{2\pi }{3}rad$
D. $\dfrac{\pi }{2}rad$
A. $\dfrac{\pi }{6}rad$
B. $\dfrac{\pi }{3}rad$
C. $\dfrac{2\pi }{3}rad$
D. $\dfrac{\pi }{2}rad$
Phương pháp:
+ Sử dụng giản đồ vecto.
+ Định lí hàm số cos: ${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab.\cos C$
+ Bất đẳng thức Cosi: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$
+ Sử dụng lí thuyết về cộng hưởng điện, các công thức của mạch RLC mắc nối tiếp.
Cách giải:
Theo bài ra ta có: $LC{{\omega }^{2}}=1\Rightarrow {{Z}_{L}}={{Z}_{C}}\Rightarrow {{U}_{L}}={{U}_{C}}$
Ta có giản đồ vecto:
Từ hình vẽ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
U_{AN}^{2}=U_{L}^{2}+U_{X}^{2}-2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \beta \\
U_{MB}^{2}=U_{C}^{2}+U_{X}^{2}-2.{{U}_{C}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \\
\end{array} \right.$
Mà $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\cos \beta =-\cos \alpha \\
{{U}_{L}}={{U}_{C}} \\
\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
U_{AN}^{2}=U_{L}^{2}+U_{X}^{2}+2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \\
U_{MB}^{2}=U_{L}^{2}+U_{X}^{2}-2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \\
\end{array} \right. \right.$
Theo bài cho có ${{U}_{AN}}=\sqrt{3}{{U}_{MB}}\Rightarrow U_{AN}^{2}=3.U_{MB}^{2}$
$\Leftrightarrow U_{L}^{2}+U_{X}^{2}+2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha =3.\left( U_{L}^{2}+U_{X}^{2}-2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \right)$
$\Leftrightarrow 8{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha =2U_{L}^{2}+2U_{X}^{2}\Leftrightarrow 4{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha =U_{L}^{2}+U_{X}^{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
$U_{L}^{2}+U_{X}^{2}\ge 2\sqrt{U_{L}^{2}.U_{X}^{2}}\Rightarrow U_{L}^{2}+U_{X}^{2}\ge 2{{U}_{L}}{{U}_{X}}$
$\Rightarrow 4{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \ge 2{{U}_{L}}{{U}_{X}}\Rightarrow \cos \alpha \ge \dfrac{1}{2}\Rightarrow \alpha \le \dfrac{\pi }{3}$
+ Sử dụng giản đồ vecto.
+ Định lí hàm số cos: ${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab.\cos C$
+ Bất đẳng thức Cosi: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$
+ Sử dụng lí thuyết về cộng hưởng điện, các công thức của mạch RLC mắc nối tiếp.
Cách giải:
Theo bài ra ta có: $LC{{\omega }^{2}}=1\Rightarrow {{Z}_{L}}={{Z}_{C}}\Rightarrow {{U}_{L}}={{U}_{C}}$
Ta có giản đồ vecto:
Từ hình vẽ ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
U_{AN}^{2}=U_{L}^{2}+U_{X}^{2}-2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \beta \\
U_{MB}^{2}=U_{C}^{2}+U_{X}^{2}-2.{{U}_{C}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \\
\end{array} \right.$
Mà $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\cos \beta =-\cos \alpha \\
{{U}_{L}}={{U}_{C}} \\
\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
U_{AN}^{2}=U_{L}^{2}+U_{X}^{2}+2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \\
U_{MB}^{2}=U_{L}^{2}+U_{X}^{2}-2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \\
\end{array} \right. \right.$
Theo bài cho có ${{U}_{AN}}=\sqrt{3}{{U}_{MB}}\Rightarrow U_{AN}^{2}=3.U_{MB}^{2}$
$\Leftrightarrow U_{L}^{2}+U_{X}^{2}+2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha =3.\left( U_{L}^{2}+U_{X}^{2}-2.{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \right)$
$\Leftrightarrow 8{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha =2U_{L}^{2}+2U_{X}^{2}\Leftrightarrow 4{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha =U_{L}^{2}+U_{X}^{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
$U_{L}^{2}+U_{X}^{2}\ge 2\sqrt{U_{L}^{2}.U_{X}^{2}}\Rightarrow U_{L}^{2}+U_{X}^{2}\ge 2{{U}_{L}}{{U}_{X}}$
$\Rightarrow 4{{U}_{L}}{{U}_{X}}.\cos \alpha \ge 2{{U}_{L}}{{U}_{X}}\Rightarrow \cos \alpha \ge \dfrac{1}{2}\Rightarrow \alpha \le \dfrac{\pi }{3}$
Đáp án B.