Google
Câu hỏi: Cho đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right):y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+m.$ Khi $m={{m}_{0}}$ thì $\left( {{C}_{m}} \right)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4.$ Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${{m}_{0}}\in \left( -2;0 \right).$
B. ${{m}_{0}}\in \left( 0;2 \right).$
C. ${{m}_{0}}\in \left( 1;2 \right).$
D. ${{m}_{0}}\in \left( 2;5 \right).$
A. ${{m}_{0}}\in \left( -2;0 \right).$
B. ${{m}_{0}}\in \left( 0;2 \right).$
C. ${{m}_{0}}\in \left( 1;2 \right).$
D. ${{m}_{0}}\in \left( 2;5 \right).$
Phương trình hoành độ giao điểm:
${{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+m=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-x-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-x-m=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Giả sử ${{x}_{3}}=1$ thì yêu cầu bài toán tương đương với tìm $m$ để $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ phân biệt khác 1 và thỏa mãn: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3.$
Điều này tương đương với
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& 1-1-m\ne 0 \\
& {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{2}}{{x}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1+4m>0 \\
& m\ne 0 \\
& {{1}^{2}}+2m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=1$
Vậy giá trị cần tìm của $m$ là $m=1.$
${{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x+m=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-x-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& {{x}^{2}}-x-m=0\left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Giả sử ${{x}_{3}}=1$ thì yêu cầu bài toán tương đương với tìm $m$ để $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ phân biệt khác 1 và thỏa mãn: $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=3.$
Điều này tương đương với
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta >0 \\
& 1-1-m\ne 0 \\
& {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{2}}{{x}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1+4m>0 \\
& m\ne 0 \\
& {{1}^{2}}+2m=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=1$
Vậy giá trị cần tìm của $m$ là $m=1.$
Đáp án B.