Google
Câu hỏi: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ thỏa mãn: $u_{1}^{2}-4\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n-1}}{{u}_{n}}-1 \right)+4u_{n-1}^{2}+u_{n}^{2}=0, \forall n\ge 2, n\in \mathbb{N}$. Tính ${{u}_{5}}$.
A. ${{u}_{5}}=-32$.
B. ${{u}_{5}}=32$.
C. ${{u}_{5}}=64$.
D. ${{u}_{5}}=64$.
A. ${{u}_{5}}=-32$.
B. ${{u}_{5}}=32$.
C. ${{u}_{5}}=64$.
D. ${{u}_{5}}=64$.
Dựa vào đề bài ta có:
$u_{1}^{2}-4\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n-1}}{{u}_{n}}-1 \right)+4u_{n-1}^{2}+u_{n}^{2}=0$
$\Leftrightarrow u_{n}^{2}-4{{u}_{n-1}}{{u}_{n}}+4u_{n-1}^{2}+u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4=0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{u}_{n}}-2{{u}_{n-1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}-2 \right)}^{2}}=0$
Vì ${{\left( {{u}_{n}}-2{{u}_{n-1}} \right)}^{2}}\ge 0$ và ${{\left( {{u}_{1}}-2 \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi giá trị của ${{u}_{1}},{{u}_{n-1}}$ và ${{u}_{n}}$ nên dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( {{u}_{n}}-2{{u}_{n-1}} \right)}^{2}}=0 \\
& {{\left( {{u}_{1}}-2 \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}} \\
& {{u}_{1}}=2 \\
\end{aligned} \right..$
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${{u}_{1}}=2,$ công bội $q=2$ nên ${{u}_{5}}={{u}_{1}}{{q}^{4}}=32.$
$u_{1}^{2}-4\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n-1}}{{u}_{n}}-1 \right)+4u_{n-1}^{2}+u_{n}^{2}=0$
$\Leftrightarrow u_{n}^{2}-4{{u}_{n-1}}{{u}_{n}}+4u_{n-1}^{2}+u_{1}^{2}-4{{u}_{1}}+4=0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{u}_{n}}-2{{u}_{n-1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{u}_{1}}-2 \right)}^{2}}=0$
Vì ${{\left( {{u}_{n}}-2{{u}_{n-1}} \right)}^{2}}\ge 0$ và ${{\left( {{u}_{1}}-2 \right)}^{2}}\ge 0$ với mọi giá trị của ${{u}_{1}},{{u}_{n-1}}$ và ${{u}_{n}}$ nên dấu "=" xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& {{\left( {{u}_{n}}-2{{u}_{n-1}} \right)}^{2}}=0 \\
& {{\left( {{u}_{1}}-2 \right)}^{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{u}_{n}}=2{{u}_{n-1}} \\
& {{u}_{1}}=2 \\
\end{aligned} \right..$
Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${{u}_{1}}=2,$ công bội $q=2$ nên ${{u}_{5}}={{u}_{1}}{{q}^{4}}=32.$
Đáp án B.