Google
Câu hỏi: Cho $4$ số $a, b, c, d$ thỏa mãn điều kiện ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a+6b-9$ và $3c+4d=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}$ ?
A. $\dfrac{8}{5}$.
B. $\dfrac{64}{25}$.
C. $\dfrac{7}{5}$.
D. $\dfrac{49}{25}$.
A. $\dfrac{8}{5}$.
B. $\dfrac{64}{25}$.
C. $\dfrac{7}{5}$.
D. $\dfrac{49}{25}$.
Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a+6b-9\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}.$
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ gọi $A\left( a;b \right),B\left( c;d \right).$
Khi đó $A\left( a;b \right)$ nằm trên đường tròn tâm $I\left( 2;3 \right)$ bán kính $R=2$ có phương trình: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}.$ $B\left( c;d \right)$ nằm trên đường thẳng: $3x+4y=1.$
Vì $\overrightarrow{BA}=\left( a-c;b-d \right)$ nên $P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}}.$ Khi đó $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\left| \overrightarrow{BA} \right|$ nhỏ nhất.
Khoảng cách từ $I$ đến $\left( \Delta \right):{{d}_{\left( I,\left( \Delta \right) \right)}}=\dfrac{3.2+4.3-1}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{17}{5}.$ Vì ${{d}_{\left( I,\left( \Delta \right) \right)}}>R$ nên $\left( I \right)$ và $\left( \Delta \right)$ không giao nhau.
Suy ra $\left| \overrightarrow{BA} \right|$ nhỏ nhất khi $I,A,B$ thẳng hàng và $A$ nằm giữa $I,B$ và $IB\bot \left( \Delta \right)$ như hình sau.
$\min \left( \left| \overrightarrow{BA} \right| \right)={{d}_{\left( \mathsf{I,}\left( \Delta \right) \right)}}-R=\dfrac{17}{5}-2=\dfrac{7}{5}.$
$\min \left( P \right)=\min \left( {{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}} \right)={{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{49}{25}.$
Trong hệ trục tọa độ $Oxy$ gọi $A\left( a;b \right),B\left( c;d \right).$
Khi đó $A\left( a;b \right)$ nằm trên đường tròn tâm $I\left( 2;3 \right)$ bán kính $R=2$ có phương trình: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}.$ $B\left( c;d \right)$ nằm trên đường thẳng: $3x+4y=1.$
Vì $\overrightarrow{BA}=\left( a-c;b-d \right)$ nên $P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}}.$ Khi đó $P$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\left| \overrightarrow{BA} \right|$ nhỏ nhất.
Khoảng cách từ $I$ đến $\left( \Delta \right):{{d}_{\left( I,\left( \Delta \right) \right)}}=\dfrac{3.2+4.3-1}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\dfrac{17}{5}.$ Vì ${{d}_{\left( I,\left( \Delta \right) \right)}}>R$ nên $\left( I \right)$ và $\left( \Delta \right)$ không giao nhau.
Suy ra $\left| \overrightarrow{BA} \right|$ nhỏ nhất khi $I,A,B$ thẳng hàng và $A$ nằm giữa $I,B$ và $IB\bot \left( \Delta \right)$ như hình sau.
$\min \left( \left| \overrightarrow{BA} \right| \right)={{d}_{\left( \mathsf{I,}\left( \Delta \right) \right)}}-R=\dfrac{17}{5}-2=\dfrac{7}{5}.$
$\min \left( P \right)=\min \left( {{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}} \right)={{\left( \dfrac{7}{5} \right)}^{2}}=\dfrac{49}{25}.$
Đáp án D.