Câu 75 trang 128 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

Câu a

Nếu ABCD là hình chữ nhật thì với mọi điểm M trog không gian ta luôn có .
Lời giải chi tiết:
Cách 1. Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD. Vậy .
Cách 2.

Tương tự như tên ta có .
Vì ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB. Vậy .

Câu b

Nếu ABCD là hình bình hành thì không phụ thuộc vào vị trí điểm M trong không gian. Điều ngược lại có đúng không?
Lời giải chi tiết:
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC cà BD, khi đó:

● Nếu ABCD là hình bình hành thì I ≡ J

Khi đó

tức là không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
● Ngược lạ, nếu không phụ thuộc vào bị trí của điểm M thì cũng là hằng số. Khi đó chọn M lần lượt là điểm I và điểm J thì , suy ra , tức là IJ  = 0 hay I ≡ J
Vậy ABCD là hình bình hành.
Chú ý cũng có thể sử dụng các công thức:

và từ đó ta có

rồi lí luận như trên để đi đến kết quả.