Google
Câu hỏi: Cho tứ diện ABCD. Gọi \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA sao cho \(\overrightarrow {{A_1}A} = k\overrightarrow {{A_1}B} ,\overrightarrow {{B_1}B} = k\overrightarrow {{B_1}C} \) , \(\overrightarrow {{C_1}C} = k\overrightarrow {{C_1}D} ,\overrightarrow {{D_1}D} = k\overrightarrow {{D_1}A} \). Với giá trị bào của k thì bốn điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng?
Lời giải chi tiết
Cách 1.
Đặt \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng.
Các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có các số m, n để
\(\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = m\overrightarrow {{D_1}{A_1}} + n\overrightarrow {{D_1}{C_1}} \left( 1 \right)\)
Từ hệ thức \(\overrightarrow {{B_1}B} = k\overrightarrow {{B_1}C} \), ta có
\(\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}B} - k\overrightarrow {{D_1}C} } \over {1 - k}}\)
hay
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{B_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DB} - k\left( {\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DC} } \right)} \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \cr} \)
Mặt khác
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}D} = k\overrightarrow {{D_1}A} = k\left( {\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DA} } \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {{D_1}D} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a \cr} \)
Vậy \(\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \).
Tương tự như trên, ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}A} - k\overrightarrow {{D_1}B} } \over {1 - k}} \cr & = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DA} - k\left( {\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DB} } \right)} \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \cr} \)
hay
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {{k + 1} \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \left( 3 \right) \cr & \overrightarrow {{D_1}{C_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}C} - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}} \cr & = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DC} - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \cr} \)
do đó \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c . \left( 4 \right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi
\(k\overrightarrow a + \overrightarrow b - k\overrightarrow c \)
\(= \left( {mk + nk + m} \right)\overrightarrow a - mk\overrightarrow b + n\overrightarrow c \)
Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi có các số m, n để
\(\left\{ \matrix{ k = mk + nk + m \hfill \cr 1 = - mk \hfill \cr - k = n \hfill \cr} \right.\)
Điều đó tương đương với \(k = - 1 - {k^2} - {1 \over k}\) hay \({k^3} + {k^2} + k + 1 = 0\) hay k = -1.
Vậy với k = -1 thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng.
Cách 2.
Đặt \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c \). Tìm k để các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng tương đương với việc tìm k để có biểu diễn
\(\overrightarrow {D{A_1}} = x\overrightarrow {D{B_1}} + y\overrightarrow {D{C_1}} + z\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} \)
với x + y + z = 1 (a)
Từ hệ thức \(\overrightarrow {{A_1}A} = k\overrightarrow {{A_1}B} \) ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {D{A_1}} = {{\overrightarrow {DA} - k\overrightarrow {DB} } \over {1 - k}} \cr & = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \left( 1 \right) \cr} \)
Tương tự như trên, ta cũng có
\(\overrightarrow {D{B_1}} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \left( 2 \right)\)
Mặt khác từ \(\overrightarrow {{C_1}C} = k\overrightarrow {{C_1}D} \) ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{C_1}D} + \overrightarrow {DC} = k\overrightarrow {{C_1}D} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {D{C_1}} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \left( 3 \right) \cr} \)
Tương tự từ \(\overrightarrow {{D_1}D} = k\overrightarrow {{D_1}A} \), ta cũng có
\(\overrightarrow {{D_1}D} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a \left( 4 \right)\)
Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra
\(\overrightarrow {D{A_1}} = - {1 \over k}\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} - k\overrightarrow {D{B_1}} - {k^2}\overrightarrow {D{C_1}} \left( b \right)\)
Từ (a) và (b) ta có các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:
\(\eqalign{ & - {1 \over k} - k - {k^2} = 1 \cr & \Leftrightarrow {k^3} + {k^2} + k + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow k = - 1 \cr} \)
Vậy với k = -1 thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng.
Cách 1.
Đặt \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng.
Các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi có các số m, n để
\(\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = m\overrightarrow {{D_1}{A_1}} + n\overrightarrow {{D_1}{C_1}} \left( 1 \right)\)
Từ hệ thức \(\overrightarrow {{B_1}B} = k\overrightarrow {{B_1}C} \), ta có
\(\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}B} - k\overrightarrow {{D_1}C} } \over {1 - k}}\)
hay
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{B_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DB} - k\left( {\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DC} } \right)} \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \cr} \)
Mặt khác
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}D} = k\overrightarrow {{D_1}A} = k\left( {\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DA} } \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {{D_1}D} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a \cr} \)
Vậy \(\overrightarrow {{D_1}{B_1}} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \).
Tương tự như trên, ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}A} - k\overrightarrow {{D_1}B} } \over {1 - k}} \cr & = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DA} - k\left( {\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DB} } \right)} \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \cr} \)
hay
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{D_1}{A_1}} = {{k + 1} \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \left( 3 \right) \cr & \overrightarrow {{D_1}{C_1}} = {{\overrightarrow {{D_1}C} - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}} \cr & = {{\overrightarrow {{D_1}D} + \overrightarrow {DC} - k\overrightarrow {{D_1}D} } \over {1 - k}} \cr & = \overrightarrow {{D_1}D} + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \cr} \)
do đó \(\overrightarrow {{D_1}{C_1}} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a + {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c . \left( 4 \right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi
\(k\overrightarrow a + \overrightarrow b - k\overrightarrow c \)
\(= \left( {mk + nk + m} \right)\overrightarrow a - mk\overrightarrow b + n\overrightarrow c \)
Do \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi có các số m, n để
\(\left\{ \matrix{ k = mk + nk + m \hfill \cr 1 = - mk \hfill \cr - k = n \hfill \cr} \right.\)
Điều đó tương đương với \(k = - 1 - {k^2} - {1 \over k}\) hay \({k^3} + {k^2} + k + 1 = 0\) hay k = -1.
Vậy với k = -1 thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng.
Cách 2.
Đặt \(\overrightarrow {DA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {DB} = \overrightarrow b ,\overrightarrow {DC} = \overrightarrow c \). Tìm k để các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng tương đương với việc tìm k để có biểu diễn
\(\overrightarrow {D{A_1}} = x\overrightarrow {D{B_1}} + y\overrightarrow {D{C_1}} + z\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} \)
với x + y + z = 1 (a)
Từ hệ thức \(\overrightarrow {{A_1}A} = k\overrightarrow {{A_1}B} \) ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {D{A_1}} = {{\overrightarrow {DA} - k\overrightarrow {DB} } \over {1 - k}} \cr & = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow a - {k \over {1 - k}}\overrightarrow b \left( 1 \right) \cr} \)
Tương tự như trên, ta cũng có
\(\overrightarrow {D{B_1}} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow b - {k \over {1 - k}}\overrightarrow c \left( 2 \right)\)
Mặt khác từ \(\overrightarrow {{C_1}C} = k\overrightarrow {{C_1}D} \) ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{C_1}D} + \overrightarrow {DC} = k\overrightarrow {{C_1}D} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {D{C_1}} = {1 \over {1 - k}}\overrightarrow c \left( 3 \right) \cr} \)
Tương tự từ \(\overrightarrow {{D_1}D} = k\overrightarrow {{D_1}A} \), ta cũng có
\(\overrightarrow {{D_1}D} = {k \over {1 - k}}\overrightarrow a \left( 4 \right)\)
Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra
\(\overrightarrow {D{A_1}} = - {1 \over k}\overrightarrow {{\rm{D}}{{\rm{D}}_1}} - k\overrightarrow {D{B_1}} - {k^2}\overrightarrow {D{C_1}} \left( b \right)\)
Từ (a) và (b) ta có các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:
\(\eqalign{ & - {1 \over k} - k - {k^2} = 1 \cr & \Leftrightarrow {k^3} + {k^2} + k + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow k = - 1 \cr} \)
Vậy với k = -1 thì các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) cùng thuộc một mặt phẳng.