Câu hỏi: Trong mp(P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a. Gọi E, F lần luợt là trung điểm của AD và BC. Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P) vẽ nửa đường tròn đường kính (EF). Gọi S là điểm bất kì trên nửa đường tròn đó.
a) Chứng minh rằng mp(SEF) vuông góc với hai mặt phẳng (SAD), (SBC) và mp(SAD) vuông góc với mp(SBC).
b) Gọi H', K' lần lượt là hình chiếu của các trực tâm H và K của các tam giác SAD và SBC xuống (P). Chứng minh rằng HH'. KK' không phụ thuộc vào vị trí điểm S.
a) Chứng minh rằng mp(SEF) vuông góc với hai mặt phẳng (SAD), (SBC) và mp(SAD) vuông góc với mp(SBC).
b) Gọi H', K' lần lượt là hình chiếu của các trực tâm H và K của các tam giác SAD và SBC xuống (P). Chứng minh rằng HH'. KK' không phụ thuộc vào vị trí điểm S.
Lời giải chi tiết
A) Vì
nên
Từ đó
Tương tự
Dễ thấy
Do
Vì S thuộc đường tròn đường kính EF nên
Vậy
b) Kẻ
Do
Mặt khác
Ta lại có H' thuộc EF. Vậy H' là trực tâm tam giác ADF, từ đó H' cố định. Tương tự K' cũng là điểm cố định.
Ta có ∆HH'E đồng dạng ∆FK'K, do đó
Như vậy HH'. KK' không đổi
Thật vậy, ∆EDH' đồng dạng ∆EFA
Tương tự, ta cũng có
Vậy
A) Vì
nên
Từ đó
Tương tự
Dễ thấy
Do
Vì S thuộc đường tròn đường kính EF nên
Vậy
b) Kẻ
Do
Mặt khác
Ta lại có H' thuộc EF. Vậy H' là trực tâm tam giác ADF, từ đó H' cố định. Tương tự K' cũng là điểm cố định.
Ta có ∆HH'E đồng dạng ∆FK'K, do đó
Như vậy HH'. KK' không đổi
Thật vậy, ∆EDH' đồng dạng ∆EFA
Tương tự, ta cũng có
Vậy