Google
Câu hỏi:
\(P\left( {x + \alpha } \right) = P\left(\alpha \right) + xP'\left(\alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P"\left(\alpha \right)) \)
\(+ {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha \right),\) \(\left( {\forall x \in R} \right)\)
Giải chi tiết:
Ta viết đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) dưới dạng
\(P\left( x \right) = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3} \left({{a_0} \ne 0} \right)\)
Ta có
\(\eqalign{& P'\left( x \right) = 3{a_0}{x^2} + 2{a_1}x + {a_2} \cr& P''\left(x \right) = 6{a_0}x + 2{a_1} \cr& P'''\left(x \right) = 6{a_0}. \cr} \)
Vậy
\(\eqalign{& {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left(\alpha \right) + xP'\left(\alpha \right) + P\left(\alpha \right) \cr& = {a_0}{x^3} + \left({3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left({3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x\cr& + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3} \left(1 \right) \cr} \)
Mặt khác ta có
\(\eqalign{& P\left( {x + \alpha } \right) = {a_0}{\left({x + \alpha } \right)^3} + {a_1}{\left({x + \alpha } \right)^2} \cr& + {a_2}\left({x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}\left({{x^3} + 3\alpha {x^2} + 3{\alpha ^2}x + {\alpha ^3}} \right) \cr& + {a_1}\left({{x^2} + 2\alpha x + {\alpha ^2}} \right) + {a_2}\left({x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}{x^3} + \left({3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left({3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x \cr& + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3} \left(2 \right) \cr} \)
So sánh (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh.
Giải chi tiết:
Khi \(\alpha = 0,\) ta được
\(P\left( x \right) = P\left(0 \right) + xP'\left(0 \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left(0 \right) + {{{x^3}} \over 6}P'''\left(0 \right).\)
Vì \(P\left( 0 \right) = P'\left(0 \right) = P''\left(0 \right) = P'''\left(0 \right) = 1\)
Nên đa thức tìm là \(P\left( x \right) = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 6}\)
Câu a
Chứng minh rằng nếu \(P\left( x \right)\) là một đa thức bậc ba và \(\alpha \) là một số thực bất kì ta có\(P\left( {x + \alpha } \right) = P\left(\alpha \right) + xP'\left(\alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P"\left(\alpha \right)) \)
\(+ {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha \right),\) \(\left( {\forall x \in R} \right)\)
Giải chi tiết:
Ta viết đa thức bậc ba \(P\left( x \right)\) dưới dạng
\(P\left( x \right) = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3} \left({{a_0} \ne 0} \right)\)
Ta có
\(\eqalign{& P'\left( x \right) = 3{a_0}{x^2} + 2{a_1}x + {a_2} \cr& P''\left(x \right) = 6{a_0}x + 2{a_1} \cr& P'''\left(x \right) = 6{a_0}. \cr} \)
Vậy
\(\eqalign{& {{{x^3}} \over 6}P'''\left( \alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left(\alpha \right) + xP'\left(\alpha \right) + P\left(\alpha \right) \cr& = {a_0}{x^3} + \left({3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left({3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x\cr& + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3} \left(1 \right) \cr} \)
Mặt khác ta có
\(\eqalign{& P\left( {x + \alpha } \right) = {a_0}{\left({x + \alpha } \right)^3} + {a_1}{\left({x + \alpha } \right)^2} \cr& + {a_2}\left({x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}\left({{x^3} + 3\alpha {x^2} + 3{\alpha ^2}x + {\alpha ^3}} \right) \cr& + {a_1}\left({{x^2} + 2\alpha x + {\alpha ^2}} \right) + {a_2}\left({x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}{x^3} + \left({3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left({3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x \cr& + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3} \left(2 \right) \cr} \)
So sánh (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh.
Câu b
Xác định đa thức \(P\left( x \right)\) bậc ba biết \(P\left( 0 \right) = P'\left(0 \right) = P"\left(0 \right)=P'''\left(0 \right) = 1\)Giải chi tiết:
Khi \(\alpha = 0,\) ta được
\(P\left( x \right) = P\left(0 \right) + xP'\left(0 \right) + {{{x^2}} \over 2}P''\left(0 \right) + {{{x^3}} \over 6}P'''\left(0 \right).\)
Vì \(P\left( 0 \right) = P'\left(0 \right) = P''\left(0 \right) = P'''\left(0 \right) = 1\)
Nên đa thức tìm là \(P\left( x \right) = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 6}\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!