Google
Câu hỏi: Chứng minh rằng :
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) xác định trên \(\mathbb R\).
Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left({{x^4} - {x^2} + 2} \right) \) \(= x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy f liên tục tại x0 nên f liên tục trên \(\mathbb R\).
Lời giải chi tiết:
Hàm số f xác định khi và chỉ khi :
\(1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\)
Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1; 1)
Với mọi x0ϵ (-1; 1), ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} \) \(= {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng (-1; 1)
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(8 - 2{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2; 2]
Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2; 2} \right)\) , ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left({{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2).
Ngoài ra, ta có :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left(x \right) \) \(= \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left({ - 2} \right)\) nên hàm số liên tục phải tại x=-2.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }}\) \(= \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục trái tại x=2.
Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2; 2]
Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} \) \(= \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Mặt khác ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\)
Nên hàm số liên tục phải tại x=1/2.
Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Câu a
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) liên tục trên \(\mathbb R\)Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) xác định trên \(\mathbb R\).
Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left({{x^4} - {x^2} + 2} \right) \) \(= x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy f liên tục tại x0 nên f liên tục trên \(\mathbb R\).
Câu b
Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1; 1) ;Lời giải chi tiết:
Hàm số f xác định khi và chỉ khi :
\(1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\)
Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1; 1)
Với mọi x0ϵ (-1; 1), ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} \) \(= {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng (-1; 1)
Câu c
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2; 2];Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(8 - 2{x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2; 2]
Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2; 2} \right)\) , ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left({{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2).
Ngoài ra, ta có :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left(x \right) \) \(= \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left({ - 2} \right)\) nên hàm số liên tục phải tại x=-2.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }}\) \(= \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\) nên hàm số liên tục trái tại x=2.
Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2; 2]
Câu d
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)Lời giải chi tiết:
Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} \) \(= \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)
Nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Mặt khác ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right) \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\)
Nên hàm số liên tục phải tại x=1/2.
Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!