Câu 4.55 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong mặt phẳng phức xét ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn đơn vị. A là điểm biểu diễn số 1 (giả sử đi dọc chu vi đa giác theo ngược chiều kim đồng hồ gặp các đỉnh kế tiếp B, C, D, E). Kí hiệu  là các số phức theo thứ tự biểu diễn bởi các điểm B, C, D, E.

Câu a

Chứng minh rằng  là các nghiệm của phương trình  và 
Giải chi tiết:


Từ đó theo công thức Moa-vrơ, là nghiệm các phương trình (đó là tất cả các nghiệm vì phương trình có bậc 5).

Câu b

Viết  rồi đưa phương trình  về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ . Từ đó suy ra 
Giải chi tiết:
Với


, trong đó
Phương trình có hai nghiệm là
Vì là bốn nghiệm của phương trình tức là nghiệm của phương trình:
và   nên là hai nghiệm phân biệt của phương trình
Từ đó suy ra (còn ) để ý rằng (h. 4.14)