Câu 3 trang 130 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Câu hỏi: Chứng minh rằng các dãy số (un​) sau đây có giới hạn 0 :

Câu a

\({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng các định lý:
+) Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left({{v_n}} \right)\).
Nếu \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0\).
+) Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\left| {0,99} \right| < 1\) nên \(\lim {u_n} = \lim {\left( {0,99} \right)^n} = 0\)

Câu b

\({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \left| {{u_n}} \right| = \left| {{{{{\left({ - 1} \right)}^n}} \over {{2^n} + 1}}} \right| = {1 \over {{2^n} + 1}}\cr & <\frac{1}{{{2^n}}} =  {\left({{1 \over 2}} \right)^n}\cr &\lim {\left({{1 \over 2}} \right)^n} = 0 \cr 
& \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \)

Câu c

\({u_n} = - {{\sin {{n\pi } \over 5}} \over {{{\left( {1,01} \right)}^n}}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \left| {{u_n}} \right| = {{\left| {\sin {{n\pi } \over 5}} \right|} \over {{{\left({1,01} \right)}^n}}} \le \frac{1}{{1,{{01}^n}}} = {\left({{1 \over {1,01}}} \right)^n},\cr &\lim {\left({{1 \over {1,01}}} \right)^n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 0 \cr} \)