Câu 3.65 trang 69 SBT Đại số 10 Nâng cao

Câu hỏi: Giải các hệ phương trình sau :

Câu a

$\{\begin{array}{c}2x^2-xy+3y^2=7x+12y-1\hfill \\ x-y+1=0\hfill \end{array}$
Giải chi tiết:
Từ phương trình thứ hai trong hệ ta rút y = x + 1 rồi thế vào phương trình thứ nhất và thu gọn thì được phương trình bậc hai $2x^2-7x-4=0.$
Phương trình này cho ta hai nghiệm $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ và $x=4.$ Tương tự ta được hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là $\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ và $\left(4;5\right).$

Câu b

$\{\begin{array}{c}\left(2x+3y-2\right)\left(x-5y-3\right)=0\hfill \\ x-3y=1\hfill \end{array}$
Giải chi tiết:
Ta có $(2x+3y–2)(x–5y–3)=0$$\iff 2x+3y=2$ hoặc $x–5y=3$. Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với
$\left(I\right)\{\begin{array}{c}2\mathrm{x}+3y=2\\ x-3y=1\end{array}$
hoặc $\left(II\right)\{\begin{array}{c}x-5y=3\\ x-3y=1\end{array}$
Hai hệ này cho ta hai nghiệm của hệ phương trình đã cho là (1; 0) và (-2 ; -1)

Câu c

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2+2x\left(y-3\right)+2y\left(x-3\right)+9=0\hfill \\ 2\left(x+y\right)-xy+6=0\hfill \end{array}$
Giải chi tiết:
Đây là hệ phương trình đối xứng đối với hai ẩn. Do đó ta giải bằng cách đặt $u=x+y$ và $v=xy$. Khi đó ta thu được hệ phương trình ẩn u và v
$\left(III\right)\{\begin{array}{c}{u}^2-6u+2v+9=0\\ 2u-v+6=0\end{array}$
Ta giải hệ phương trình (III) bằng phương pháp thế; kết quả là hệ này vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu d

$\{\begin{array}{c}{x}^2-2y^2=7x\\ y^2-2x^2=7y\end{array}$
Giải chi tiết:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được $3(x^2-y^2)=7(x-y)$
Phương trình này tương đương với
$\left(IV\right)\{\begin{array}{c}{x}^2-2y^2=7x\\ x-y=0\end{array}$ hoặc $\left(V\right)\{\begin{array}{c}{x}^2-2y^2=7x\\ 3x+3y-7=0\end{array}$
Hệ (IV) có hai nghiệm (0; 0) và (-7 ; -7) ; hệ (V) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (0; 0) và (-7 ; -7).