Câu 3.5 trang 86 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Lời giải chi tiết
Ta sẽ giải bài toán bằng phương pháp quy nạp.
Kí hiệu bất đẳng thức cần chứng minh theo yêu cầu của đề bài bởi (1)
Với theo giả thiết bài toán ta có Vì thế, ta có (1) đúng khi
Với xét hai số thực dương tùy ý thỏa mãn điều kiện
               (2)
Hiển nhiên, trong hai số phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử và Khi đó, ta có

Suy ra (do (2)). Điều này chứng tỏ (1) đúng khi
Giả sử có (1) đúng khi và tức là giả sử với k số thực dương tùy ý thỏa mãn điều kiện ta luôn có

Xét số thực dương tùy ý có tích bằng 1 nên theo giả thiết quy nạp ta có
   (3)
Hơn nữa, dễ thấy trong số phải có một số không lớn hơn 1 và một số không bé hơn 1. Không mất tổng quát, giả sử và Khi đó ta có
hay     (4)
Từ (3) và (4) suy ra


Như thế, ta cũng có (1) đúng khi
Từ các chứng minh trên suy ra ta có (1) đúng với n là một số nguyên dương tùy ý.