Câu hỏi: a) Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
b) Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
b) Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
Lời giải chi tiết
A) Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó
Do I là trung điểm của DH nên
Khi đó:
tức là
Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến
Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
b) Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm.
Ngoài ra
Do D là điểm đối xứng của H qua I nên:
Đặt IA = x thì
Khi đó
Vậy
Do đó tứ diện DBCA có các cạnh bằng nhau.
A) Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó
Do I là trung điểm của DH nên
Khi đó:
tức là
Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến
Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
b) Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm.
Ngoài ra
Do D là điểm đối xứng của H qua I nên:
Đặt IA = x thì
Khi đó
Vậy
Do đó tứ diện DBCA có các cạnh bằng nhau.