Câu 2 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(x) = 2x3​ – 3x2​ – 12x – 10
Phương pháp giải:
- Tìm TXĐ.
- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.
- Vẽ đồ thị.
Lời giải chi tiết:
TXD:
f '(x) = 6(x2​ – x – 2)

Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại

Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị

Câu b

Chứng minh rằng phương trình 2x3​ – 3x2​ – 12x – 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất.
Phương pháp giải:
Sử dụng tương giao đồ thị, số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
Lời giải chi tiết:
Đồ thị hàm số y = 2x3​ – 3x2​ – 12x – 10  cắt trục hoành tại một điểm duy nhất nên phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất.

Câu c

Gọi nghiệm thực duy nhất của hàm số là . Chứng ming rằnh .
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Hàm số f(x) liên tục trên (a; b) và f(a). F(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c trong (a; b) sao cho f(c)=0.
Lời giải chi tiết:
Ta có: và hàm số liên tục trên (3,5; 3,6).
Vì vậy, phương trình có nghiệm   duy nhất thỏa mãn điều kiện .