Câu 2 Đề I trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; -1; 2), B(1; 2; 2) và C(1; -1; 5).

Câu a​

Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
Lời giải chi tiết:
Ta có:

Vậy tam giác ABC đều.

Câu b​

Viết phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết:
Ta có:

(ABC) đi qua A và nhận là 1 vectơ pháp tuyến nên (ABC) có phương trình:
Mặt phẳng (ABC) cắt với trục Ox tại điểm A’(5; 0; 0)
Mặt phẳng (ABC) cắt trục Oy tại điểm B’(0; 5; 0)
Mặt phẳng (ABC) cắt trục Oz tại điểm C’(0; 0; 5).
Khi đó khối tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng tọa độ là tứ diện OA’B’C’ và

Câu c​

Viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải chi tiết:
Gọi I(a, b, c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có:

Trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (ABC) nên trục đó đi qua I(2; 0; 3) và nhận là 1 vectơ chỉ phương.
Do đó trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình:

Câu d​

Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều.
Lời giải chi tiết:
Để ABCD là tứ diện đều thì
Và

Vậy có hai điểm D để ABCD là tứ diện đều là hoặc .