Câu 1 Đề II trang 132 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và AD.

Câu a​

Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ nằm trên một mặt cầu. Tìm bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Câu 1.

Ta có: là tam giác đều cạnh
Và AB’C’D’ là tứ diện đều cạnh
Gọi O và O’ lần lượt là tâm các tam giác đều BCD và B’C’D’.
Vì từ diện ABCD đều nên .
Vì từ diện AB’C’D’ đều nên .
Mà (BCD) // (B’C’D’)
Gọi E là trung điểm của CD. Dễ thấy tam giác EAB cân tại E nên
Gọi H là trung điểm của BB', trong (ABE) kẻ đường thẳng d qua H và song song với B’E cắt AO tại I.

Ta có:

Từ đó suy ra .
Vậy điểm I cách đều 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ hay 6 điểm B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R = IB.
Gọi
Tam giác BCD đều cạnh a nên
Tam giác B’C’D’ đều cạnh nên
Vì B’F // BE nên theo định lí Ta-let ta có:
Tam giác ACD đều cạnh a nên
Xét tam giác vuông AB’E có:
B’J // HI nên theo định lí Ta – let ta có: .
Xét tam giác vuông BHI có:

Câu b​

Tính thể tích khối chóp D. BCC’B’.
Lời giải chi tiết:
Theo tỉ số

Xét tam giác vuông AOE có: