Google
Câu hỏi: Biết rằng đồ thị hàm số $y=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để $\dfrac{1}{1-{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{1-{{x}_{2}}}+\dfrac{1}{1-{{x}_{3}}}+\dfrac{1}{1-{{x}_{4}}}>1$ ?
A. 9
B. 8
C. 6
D. 7
A. 9
B. 8
C. 6
D. 7
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Đặt ẩn phụ $t={{x}^{2}}\ge 0$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.
- Để phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình bậc hai ẩn t phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.
- Giả sử phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$, suy ra 4 nghiệm x, thay vào giả thiết, sau đó áp dụng định lí Vi-ét và giải bất phương trình.
Giải chi tiết:
Ta có: $y=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m$
$y=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m$
$y={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+7-m$
Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+7-m=0\left( * \right)$.
Đặt $t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)$, phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-8t+7-m=0\left( ** \right)$.
Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn ycbt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{\Delta }'=16-7+m>0 \\
8>0\left( luondung \right) \\
7-m>0 \\
m\ne 0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-9<m<7 \\
m\ne 0 \\
\end{array} \right.$
Khi đó giả sử phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}};{{t}_{2}}$ thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=-\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{2}}=\sqrt{{{t}_{1}}}$ ; ${{x}_{3}}=-\sqrt{{{t}_{2}}};{{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}$.
Theo bài ra ta có:
$\dfrac{1}{1-{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{1-{{x}_{2}}}+\dfrac{1}{1-{{x}_{3}}}+\dfrac{1}{1-{{x}_{4}}}>1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+\sqrt{{{t}_{1}}}}+\dfrac{1}{1-\sqrt{{{t}_{1}}}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{{{t}_{2}}}}+\dfrac{1}{1-\sqrt{{{t}_{2}}}}>1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{{{t}_{1}}}+1+\sqrt{{{t}_{1}}}}{1-{{t}_{1}}}+\dfrac{1-\sqrt{{{t}_{2}}}+1+\sqrt{{{t}_{2}}}}{1-{{t}_{2}}}>1$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{1-{{t}_{1}}}+\dfrac{2}{1-{{t}_{2}}}>1$
$\Leftrightarrow \dfrac{2\left( 1-{{t}_{2}}+1-{{t}_{1}} \right)-\left( 1-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}+{{t}_{1}}{{t}_{2}} \right)}{1-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}+{{t}_{1}}t}>0$ $\Leftrightarrow \dfrac{3-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)-{{t}_{1}}{{t}_{2}}}{{{t}_{1}}{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1}>0$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=8 \\
{{t}_{1}}{{t}_{2}}=7-m \\
\end{array} \right.$.
$\Rightarrow \dfrac{3-8-7+m}{7-m-8+1}>0\Leftrightarrow \dfrac{m-13}{-m}>0\Leftrightarrow 0<m<13$
Kết hợp điều kiện ta có $0<m<7$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Xét phương trình hoành độ giao điểm.
- Đặt ẩn phụ $t={{x}^{2}}\ge 0$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.
- Để phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình bậc hai ẩn t phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.
- Giả sử phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm dương phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$, suy ra 4 nghiệm x, thay vào giả thiết, sau đó áp dụng định lí Vi-ét và giải bất phương trình.
Giải chi tiết:
Ta có: $y=\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m$
$y=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( {{x}^{2}}-7 \right)-m$
$y={{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+7-m$
Xét phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{4}}-8{{x}^{2}}+7-m=0\left( * \right)$.
Đặt $t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right)$, phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-8t+7-m=0\left( ** \right)$.
Để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thỏa mãn ycbt thì phương trình (**) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 1.
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{\Delta }'=16-7+m>0 \\
8>0\left( luondung \right) \\
7-m>0 \\
m\ne 0 \\
\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
-9<m<7 \\
m\ne 0 \\
\end{array} \right.$
Khi đó giả sử phương trình (**) có 2 nghiệm phân biệt ${{t}_{1}};{{t}_{2}}$ thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}=-\sqrt{{{t}_{1}}};{{x}_{2}}=\sqrt{{{t}_{1}}}$ ; ${{x}_{3}}=-\sqrt{{{t}_{2}}};{{x}_{4}}=\sqrt{{{t}_{2}}}$.
Theo bài ra ta có:
$\dfrac{1}{1-{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{1-{{x}_{2}}}+\dfrac{1}{1-{{x}_{3}}}+\dfrac{1}{1-{{x}_{4}}}>1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1+\sqrt{{{t}_{1}}}}+\dfrac{1}{1-\sqrt{{{t}_{1}}}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{{{t}_{2}}}}+\dfrac{1}{1-\sqrt{{{t}_{2}}}}>1$
$\Leftrightarrow \dfrac{1-\sqrt{{{t}_{1}}}+1+\sqrt{{{t}_{1}}}}{1-{{t}_{1}}}+\dfrac{1-\sqrt{{{t}_{2}}}+1+\sqrt{{{t}_{2}}}}{1-{{t}_{2}}}>1$
$\Leftrightarrow \dfrac{2}{1-{{t}_{1}}}+\dfrac{2}{1-{{t}_{2}}}>1$
$\Leftrightarrow \dfrac{2\left( 1-{{t}_{2}}+1-{{t}_{1}} \right)-\left( 1-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}+{{t}_{1}}{{t}_{2}} \right)}{1-{{t}_{1}}-{{t}_{2}}+{{t}_{1}}t}>0$ $\Leftrightarrow \dfrac{3-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)-{{t}_{1}}{{t}_{2}}}{{{t}_{1}}{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1}>0$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{t}_{1}}+{{t}_{2}}=8 \\
{{t}_{1}}{{t}_{2}}=7-m \\
\end{array} \right.$.
$\Rightarrow \dfrac{3-8-7+m}{7-m-8+1}>0\Leftrightarrow \dfrac{m-13}{-m}>0\Leftrightarrow 0<m<13$
Kết hợp điều kiện ta có $0<m<7$. Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án C.