Google
Câu hỏi: Biết rằng đồ thị hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}m{{x}^{2}}+x-2$ có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai điểm cực trị là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là $\sqrt{7}.$ Hỏi có mấy giá trị của $m?$
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
$f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}m{{x}^{2}}+x-2.$
$f'\left( x \right)={{x}^{2}}-mx+1.$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx+1=0\left( 1 \right)$
Để hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right..$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{m+\sqrt{{{m}^{2}}-4}}{2} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{m-\sqrt{{{m}^{2}}-4}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}_{1}} \right|=\dfrac{\left| m+\sqrt{{{m}^{2}}-4} \right|}{2} \\
& \left| {{x}_{2}} \right|=\dfrac{\left| m-\sqrt{{{m}^{2}}-4} \right|}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{\left| {{x}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{x}_{2}} \right|}^{2}}={{\sqrt{7}}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( m+\sqrt{{{m}^{2}}-4} \right)}^{2}}+{{\left( m-\sqrt{{{m}^{2}}-4} \right)}^{2}}=7\Leftrightarrow {{m}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy chọn B.
$f'\left( x \right)={{x}^{2}}-mx+1.$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-mx+1=0\left( 1 \right)$
Để hàm số có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow $ phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt.
$\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right..$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{m+\sqrt{{{m}^{2}}-4}}{2} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{m-\sqrt{{{m}^{2}}-4}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| {{x}_{1}} \right|=\dfrac{\left| m+\sqrt{{{m}^{2}}-4} \right|}{2} \\
& \left| {{x}_{2}} \right|=\dfrac{\left| m-\sqrt{{{m}^{2}}-4} \right|}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: ${{\left| {{x}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{x}_{2}} \right|}^{2}}={{\sqrt{7}}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( m+\sqrt{{{m}^{2}}-4} \right)}^{2}}+{{\left( m-\sqrt{{{m}^{2}}-4} \right)}^{2}}=7\Leftrightarrow {{m}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy chọn B.
Đáp án B.