Google
Câu hỏi: Biết đường thẳng $y=\left( 3m-1 \right)x+6m+3$ cắt đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$
B. $\left( 0;1 \right)$
C. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$
D. $\left( -1;0 \right)$
A. $\left( 1;\dfrac{3}{2} \right)$
B. $\left( 0;1 \right)$
C. $\left( \dfrac{3}{2};2 \right)$
D. $\left( -1;0 \right)$
Phương pháp giải:
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ là số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)\left( * \right)$
Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình $\left( * \right).$
Tìm m để phương trình $\left( * \right)$ có ba nghiệm phân biệt.
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm $A,B,C.$ Khi đó có 1 điểm là trung điểm của đoạn thẳng gồm 2 điểm còn lại.
Giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=\left( 3m-1 \right)x+6m+3$ và đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ là:
$\left( 3m-1 \right)x+6m+3={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1-\left( 3m-1 \right)x-6m-3=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-\left( 3m-1 \right)x-6m-2=0\left( * \right)$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ là ba nghiệm phân biệt của phương trình $\left( * \right).$
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3\left( 1 \right) \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}}=-\left( 3m-1 \right)\left( 2 \right) \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=6m+2\left( 3 \right) \\
\end{array} \right.$
Khi đó ta có tọa độ ba giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là: $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ và $C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right).$
Giả sử B là điểm cách đều $A,C$ $\Rightarrow B$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}.$
$\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow 3{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1$
Thay ${{x}_{2}}=1$ vào phương trình $\left( * \right)$ ta được:
$\left( * \right)\Leftrightarrow 1-3-\left( 3m-1 \right)-6m-2=0$ $\Leftrightarrow -4-3m+1-6m=0$ $\Leftrightarrow -9m=3$ $\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{3}$
Với $m=-\dfrac{1}{3}$ ta được: $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x=0$ $\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=1 \\
x=2 \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow m=-\dfrac{1}{3}$ thỏa mãn bài toán.
$\Rightarrow m\in \left( -1;0 \right).$
Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ là số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=g\left( x \right)\left( * \right)$
Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình $\left( * \right).$
Tìm m để phương trình $\left( * \right)$ có ba nghiệm phân biệt.
Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm $A,B,C.$ Khi đó có 1 điểm là trung điểm của đoạn thẳng gồm 2 điểm còn lại.
Giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=\left( 3m-1 \right)x+6m+3$ và đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$ là:
$\left( 3m-1 \right)x+6m+3={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1-\left( 3m-1 \right)x-6m-3=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-\left( 3m-1 \right)x-6m-2=0\left( * \right)$
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ là ba nghiệm phân biệt của phương trình $\left( * \right).$
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3\left( 1 \right) \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}}=-\left( 3m-1 \right)\left( 2 \right) \\
{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=6m+2\left( 3 \right) \\
\end{array} \right.$
Khi đó ta có tọa độ ba giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là: $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ và $C\left( {{x}_{3}};{{y}_{3}} \right).$
Giả sử B là điểm cách đều $A,C$ $\Rightarrow B$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}}.$
$\Rightarrow \left( 1 \right)\Leftrightarrow 3{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1$
Thay ${{x}_{2}}=1$ vào phương trình $\left( * \right)$ ta được:
$\left( * \right)\Leftrightarrow 1-3-\left( 3m-1 \right)-6m-2=0$ $\Leftrightarrow -4-3m+1-6m=0$ $\Leftrightarrow -9m=3$ $\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{3}$
Với $m=-\dfrac{1}{3}$ ta được: $\left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x=0$ $\Leftrightarrow x\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}
x=0 \\
x=1 \\
x=2 \\
\end{array} \right.$
$\Rightarrow m=-\dfrac{1}{3}$ thỏa mãn bài toán.
$\Rightarrow m\in \left( -1;0 \right).$
Đáp án D.