Biết điểm $M\left( 0;4 \right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+{{a}^{2}}.$ Tính $f\left( 3 \right).$

Ta có $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b$
Điều kiện cần để điểm $M\left( 0;4 \right)$ là điểm cực đại của hàm số $f\left( x \right)$ là:
$\left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 0 \right)=0 \\
& f\left( 0 \right)=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=0 \\
& {{a}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& a=-2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
Điều kiện đủ.
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& b=0 \\
\end{aligned} \right. $ ta có $ f\left( x \right)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+4,f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+4x,f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right.$
Bảng xét dấu $f'\left( x \right)$




Nên $M\left( 0;4 \right)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (loại).
Vậy $f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+4\Rightarrow f\left( 3 \right)=13.$