Biết điểm $M (0; 4)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2} .$ Tính $f (3) .$

The Collectors · 29/5/21

Câu hỏi: Biết điểm

M (0; 4)

là điểm cực đại của đồ thị hàm số

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + a^{2} .

Tính

f (3) .

A.

f (3) = 17.

B.

f (3) = 34.

C.

f (3) = 49.

D.

f (3) = 13.

Ta có

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

Điều kiện cần để điểm

M (0; 4)

là điểm cực đại của hàm số

f (x)

là:

{\begin{aligned} f^{'} (0) = 0 \\ f (0) = 4 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} b = 0 \\ a^{2} = 4 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} a = 2 \\ b = 0 \end{aligned} \\ {\begin{aligned} a = - 2 \\ b = 0 \end{aligned} \end{aligned}

Điều kiện đủ.
Trường hợp 1:

{\begin{aligned} a = 2 \\ b = 0 \end{aligned}

ta có

f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 4, f^{'} (x) = 3 x^{2} + 4 x, f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ x = - \frac{4}{3} \end{aligned}

Bảng xét dấu

f^{'} (x)

Nên

M (0; 4)

là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (loại).
Vậy

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 4 \Rightarrow f (3) = 13.

Đáp án D.

Biết điểm M(0;4) là điểm cực đại của đồ thị hàm số f(x)=x3+ax2+bx+a2. Tính f(3).