Google
Câu hỏi: Gọi \(AM, BN, CL\) là ba đường cao của tam giác \(ABC\). Chứng minh:
a) \(∆ANL\) đồng dạng \(∆ABC\);
b) \(AN.BL.CM\) \(= AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.\)
a) \(∆ANL\) đồng dạng \(∆ABC\);
b) \(AN.BL.CM\) \(= AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.\)
Phương pháp giải
Áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a) Xét hai tam giác \(BNA\) và \(CLA\), ta có:
\(\widehat {BNA} = \widehat {CLA} = 90^\circ \)
\(\widehat A\) chung
Suy ra \(∆BNA\) đồng dạng \(∆CLA\) (g.g)
Suy ra: \(\displaystyle {{AL} \over {AN}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)
Xét hai tam giác \(ABC\) và \(ANL\), ta có:
\(\displaystyle {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)
\(\widehat A\) chung
Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng \(∆ANL\) (c.g.c)
b) \(ABN\) vuông tại \(N\) nên \(AN = AB.\cos \widehat B (1)\)
\(∆BCL\) vuông tại \(L\) nên \(BL = BC.\cos \widehat B (2)\)
\(∆ACM\) vuông tại \(M\) nên \(CM = AC.\cos \widehat C (3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(AN.BL.CM \)\(= AB.BC.CA.\cos \widehat A\cos \widehat B\cos \widehat C.\)
Áp dụng kiến thức về hai tam giác đồng dạng và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a) Xét hai tam giác \(BNA\) và \(CLA\), ta có:
\(\widehat {BNA} = \widehat {CLA} = 90^\circ \)
\(\widehat A\) chung
Suy ra \(∆BNA\) đồng dạng \(∆CLA\) (g.g)
Suy ra: \(\displaystyle {{AL} \over {AN}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)
Xét hai tam giác \(ABC\) và \(ANL\), ta có:
\(\displaystyle {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)
\(\widehat A\) chung
Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng \(∆ANL\) (c.g.c)
b) \(ABN\) vuông tại \(N\) nên \(AN = AB.\cos \widehat B (1)\)
\(∆BCL\) vuông tại \(L\) nên \(BL = BC.\cos \widehat B (2)\)
\(∆ACM\) vuông tại \(M\) nên \(CM = AC.\cos \widehat C (3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
\(AN.BL.CM \)\(= AB.BC.CA.\cos \widehat A\cos \widehat B\cos \widehat C.\)