The Collectors

Bài 97 trang 122 SBT toán 9 tập 1

Câu hỏi: Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\), \(\widehat C = 30^\circ,\)\(BC = 10cm.\)
a) Tính \(AB, AC.\)
b) Từ \(A\) kẻ \(AM, AN\) lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc \(B\).
Chứng minh: \(MN // BC\) và \(MN = AB.\)
c) Chứng minh hai tam giác \(MAB\) và \(ABC\) đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Phương pháp giải
Vận dụng kiến thức :
a) Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.
b) Dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình chữ nhật.
c) Các trường hợp đồng dạng của tam giác.
Lời giải chi tiết
1627921203798.png

a) Trong tam giác vuông \(ABC\), ta có:
\(AB = BC.\sin \widehat C = 10.\sin 30^\circ\)\( = 10.\displaystyle {1 \over 2} = 5 (cm)\)
\(AC = BC.\cos \widehat C = 10.\cos 30^\circ \)\(= 10.\displaystyle {{\sqrt 3 } \over 2} = 5\sqrt 3 (cm)\)
b) Ta có:
\(BM \bot BN\) (hai tia phân giác của 2 góc kề bù thì vuông góc với nhau) \( \Rightarrow \widehat {MBN} = 90^\circ (1)\)
\(AM \bot BM\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {AMB} = 90^\circ (2)\)
\(AN \bot BN\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {ANB} = 90^\circ (3)\)
Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác \(AMBN\) là hình chữ nhật.
Suy ra \(AM=BN, BM=AN, AB=MN\) (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra: \(∆AMB = ∆NBM\) (c.g.c)
\(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {NMB}\)
Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {MBC} (gt)\)
Suy ra: \(\widehat {NMB} = \widehat {MBC}\)
Suy ra \(MN // BC\) (có cặp so le trong bằng nhau)
Vì \(AMBN\) là hình chữ nhật nên \(AB = MN\).
c) Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ABC} + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \)
Suy ra: \(\widehat {ABM} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ABC} = {1 \over 2}.60^\circ = 30^\circ \)
Xét hai tam giác \(ABC\) và \(MAB\), ta có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)
\(\widehat {ACB} = \widehat {ABM} = 30^\circ \)
Suy ra \(∆ABC\) đồng dạng với \(∆MAB\) (g.g)
Tỉ số đồng dạng: \(k = \displaystyle {{AB} \over {BC}} = {5 \over {10}} = {1 \over 2}\)
 

Quảng cáo

Back
Top