Bài 95 trang 141 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz cho sáu điểm
A(2; 0; 0); A'(6; 0; 0); B (0; 3; 0); B'(0; 4; 0); C(0; 0; 3); C'(0; 0; 4).

Câu a

Viết phương trình mp(ABC) và mp(A'B'C'). Tính cosin của góc giữa 2 mặt phẳng đó.
Giải chi tiết:
Mặt phẳng có phương trình theo đoạn chắn là nên có phương trình tổng quát là:

Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng có phương trình theo đoạn chắn là nên có phương trình tổng quát
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có

Câu b

Viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng mp(ABC) và mp (A'B'C'). Tính khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng  .
Giải chi tiết:
Gọi A là giao tuyến của và Điểm nên toạ độ của M là nghiệm của hệ :

Cho ta tính được
Vậy điểm   thuộc và vectơ chỉ phương của là

Gọi d là khoảng cách từ O tới , ta có :
Vì , nên

Câu c

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, H' là trực tâm của tam giác A'B'C'. Chứng minh ba điểm O, G, H' thẳng hàng. Xác định tọa độ H'.
Giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có Vectơ pháp tuyến của mp là Vậy đường thẳng OG vuông góc với mp.
Mặt khác, tứ diện OA'B'C' vuông tại O nên trực tâm H' của tam giác A'B'C' là hình chiếu vuông góc của O trên mp. Do đó, O, G, H' thẳng hàng.
Để xác định toạ độ của H', ta giải hệ

Câu d

Gọi O' là điểm đối xứng của O qua mặt phẳng (ABC). Điểm O' có thuộc mp(A'B'C') không?
Giải chi tiết:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC). Toạ độ của H thoả mãn hệ


Gọi O' là điểm đối xứng của O qua mp(ABC). Vì H là trung điểm của OO' nên
Thay toạ độ của O' vào phương trình mp(A'B'C'), ta thấy không thoả mãn, vậy O' không thuộc mp(A'B'C').

Câu e

Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, A', B, C. Chứng minh rằng mặt cầu đó cũng đi qua B' và C'.
Giải chi tiết:
Giả sử (S) có phương trình
Vì nên ta có hệ:

Vậy (S) có phương trình :
(S) có tâm và
Toạ độ B', C' cũng thoả mãn (S) nên mặt cầu (S) cũng đi qua B', C'.

Câu g

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng tọa độ (Oxy).
Giải chi tiết:
Gọi là mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình Khi đó  tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi
Vậy có hai mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mp(Oxy) là:
.