Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz cho sáu điểm
A(2; 0; 0); A'(6; 0; 0); B (0; 3; 0); B'(0; 4; 0); C(0; 0; 3); C'(0; 0; 4).
Giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình theo đoạn chắn là \({x \over 2} + {y \over 3} + {z \over 3} = 1\) nên có phương trình tổng quát là:
\(3x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {A'B'C} \right)\) có phương trình theo đoạn chắn là \({x \over 6} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1\) nên có phương trình tổng quát \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right).\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có
\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = {{\left| {6 + 6 + 6} \right|} \over {\sqrt {17} .\sqrt {22} }} = {{18} \over {\sqrt {374} }}.\)
Giải chi tiết:
Gọi A là giao tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C} \right).\) Điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) \in \Delta \) nên toạ độ của M là nghiệm của hệ :
\(\left\{ \matrix{ 3x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr 2x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0. \hfill \cr} \right.\)
Cho \(z = 0,\) ta tính được \(x = - {6 \over 5}, y = {{24} \over 5}.\)
Vậy điểm \(I\left( { - {6 \over 5};{{24} \over 5}; 0} \right)\) thuộc \(\Delta \) và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là
\(\overrightarrow {{u_\Delta }} = {1 \over 5}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {0; - 1; 1} \right).\)
Gọi d là khoảng cách từ O tới \(\Delta \), ta có : \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}.\)
Vì \(\overrightarrow {OI}\left( { - {6 \over 5};{{24} \over 5}; 0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {{{24} \over 5};{6 \over 5};{6 \over 5}} \right)\) nên \(d\left( {O;\Delta } \right) = {{\sqrt {{{\left({{{24} \over 5}} \right)}^2} + {{\left({{6 \over 5}} \right)}^2} + {{\left({{6 \over 5}} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = {{18} \over 5}.\)
Giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \(G = \left( {{2 \over 3}; 1; 1} \right).\) Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(\overrightarrow {n'} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3\overrightarrow {OG} .\) Vậy đường thẳng OG vuông góc với mp\(\left( {A'B'C'} \right)\).
Mặt khác, tứ diện OA'B'C' vuông tại O nên trực tâm H' của tam giác A'B'C' là hình chiếu vuông góc của O trên mp\(\left( {A'B'C'} \right)\). Do đó, O, G, H' thẳng hàng.
Để xác định toạ độ của H', ta giải hệ
\(\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = 3t \hfill \cr z = 3t \hfill \cr 2x + 3y + 3z - 12 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow t = {6 \over {11}} \Rightarrow H' = \left( {{{12} \over {11}};{{18} \over {11}};{{18} \over {11}}} \right).\)
Giải chi tiết:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC). Toạ độ của H thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ x = 3t \hfill \cr y = 2t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr 3x + 2y + 2z - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow t = {6 \over {17}} \Rightarrow H = \left( {{{18} \over {17}};{{12} \over {17}};{{12} \over {17}}} \right).\)
Gọi O' là điểm đối xứng của O qua mp(ABC). Vì H là trung điểm của OO' nên \(O'{\rm{ }} = \left( {{{36} \over {17}};{{24} \over {17}};{{24} \over {17}}} \right).\)
Thay toạ độ của O' vào phương trình mp(A'B'C'), ta thấy không thoả mãn, vậy O' không thuộc mp(A'B'C').
Giải chi tiết:
Giả sử (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\rm{ }}{z^2} + 2ax + {\rm{ }}2by + {\rm{ }}2cz + {\rm{ }}d{\rm{ }} = 0.\)
Vì \(A, A',{\rm{ }}B, C \in \left( S \right)\) nên ta có hệ:
\(\left\{ {\matrix{ \matrix{ 4{\rm{ }} + 4a + d{\rm{ }} = 0{\rm{ }} \hfill \cr 36{\rm{ }} + {\rm{ }}12a + {\rm{ }}d = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \hfill \cr {9{\rm{ }} + 6b + d{\rm{ }} = 0} \hfill \cr {9{\rm{ }} + 6c + d = {\rm{ }}0} \hfill \cr } } \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = - 4 \hfill \cr b = c = - {7 \over 2} \hfill \cr d = 12. \hfill \cr} \right.\)
Vậy (S) có phương trình : \({x^2} + {y^2} + {\rm{ }}{z^2} - 8x - 7y - 7z + {\rm{ }}12{\rm{ }} = 0.\)
(S) có tâm \(K = \left( {4;{7 \over 2};{7 \over 2}} \right)\) và \(R = {{\sqrt {114} } \over 2}.\)
Toạ độ B', C' cũng thoả mãn (S) nên mặt cầu (S) cũng đi qua B', C'.
Giải chi tiết:
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình \(z + {\rm{ }}D{\rm{ }} = 0 (D{\rm{ }} \ne 0).\) Khi đó \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d\left( {K,\left( \alpha \right)} \right) = R\)
Vậy có hai mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mp(Oxy) là:
\(z - {7 \over 2} \pm {{\sqrt {114} } \over 2} = 0\) .
A(2; 0; 0); A'(6; 0; 0); B (0; 3; 0); B'(0; 4; 0); C(0; 0; 3); C'(0; 0; 4).
Câu a
Viết phương trình mp(ABC) và mp(A'B'C'). Tính cosin của góc giữa 2 mặt phẳng đó.Giải chi tiết:
Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có phương trình theo đoạn chắn là \({x \over 2} + {y \over 3} + {z \over 3} = 1\) nên có phương trình tổng quát là:
\(3x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = {\rm{ }}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {A'B'C} \right)\) có phương trình theo đoạn chắn là \({x \over 6} + {y \over 4} + {z \over 4} = 1\) nên có phương trình tổng quát \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z - 12{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right).\)
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có
\(\cos \varphi = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = {{\left| {6 + 6 + 6} \right|} \over {\sqrt {17} .\sqrt {22} }} = {{18} \over {\sqrt {374} }}.\)
Câu b
Viết phương trình giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng mp(ABC) và mp (A'B'C'). Tính khoảng cách từ gốc O tới đường thẳng \(\Delta \).Giải chi tiết:
Gọi A là giao tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C} \right).\) Điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y;{\rm{ }}z} \right) \in \Delta \) nên toạ độ của M là nghiệm của hệ :
\(\left\{ \matrix{ 3x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} - {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr 2x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}0. \hfill \cr} \right.\)
Cho \(z = 0,\) ta tính được \(x = - {6 \over 5}, y = {{24} \over 5}.\)
Vậy điểm \(I\left( { - {6 \over 5};{{24} \over 5}; 0} \right)\) thuộc \(\Delta \) và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là
\(\overrightarrow {{u_\Delta }} = {1 \over 5}\left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {n'} } \right] = \left( {0; - 1; 1} \right).\)
Gọi d là khoảng cách từ O tới \(\Delta \), ta có : \(d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}.\)
Vì \(\overrightarrow {OI}\left( { - {6 \over 5};{{24} \over 5}; 0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {{{24} \over 5};{6 \over 5};{6 \over 5}} \right)\) nên \(d\left( {O;\Delta } \right) = {{\sqrt {{{\left({{{24} \over 5}} \right)}^2} + {{\left({{6 \over 5}} \right)}^2} + {{\left({{6 \over 5}} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = {{18} \over 5}.\)
Câu c
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, H' là trực tâm của tam giác A'B'C'. Chứng minh ba điểm O, G, H' thẳng hàng. Xác định tọa độ H'.Giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \(G = \left( {{2 \over 3}; 1; 1} \right).\) Vectơ pháp tuyến của mp\(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(\overrightarrow {n'} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3\overrightarrow {OG} .\) Vậy đường thẳng OG vuông góc với mp\(\left( {A'B'C'} \right)\).
Mặt khác, tứ diện OA'B'C' vuông tại O nên trực tâm H' của tam giác A'B'C' là hình chiếu vuông góc của O trên mp\(\left( {A'B'C'} \right)\). Do đó, O, G, H' thẳng hàng.
Để xác định toạ độ của H', ta giải hệ
\(\left\{ \matrix{ x = 2t \hfill \cr y = 3t \hfill \cr z = 3t \hfill \cr 2x + 3y + 3z - 12 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow t = {6 \over {11}} \Rightarrow H' = \left( {{{12} \over {11}};{{18} \over {11}};{{18} \over {11}}} \right).\)
Câu d
Gọi O' là điểm đối xứng của O qua mặt phẳng (ABC). Điểm O' có thuộc mp(A'B'C') không?Giải chi tiết:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mp(ABC). Toạ độ của H thoả mãn hệ
\(\left\{ \matrix{ x = 3t \hfill \cr y = 2t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr 3x + 2y + 2z - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow t = {6 \over {17}} \Rightarrow H = \left( {{{18} \over {17}};{{12} \over {17}};{{12} \over {17}}} \right).\)
Gọi O' là điểm đối xứng của O qua mp(ABC). Vì H là trung điểm của OO' nên \(O'{\rm{ }} = \left( {{{36} \over {17}};{{24} \over {17}};{{24} \over {17}}} \right).\)
Thay toạ độ của O' vào phương trình mp(A'B'C'), ta thấy không thoả mãn, vậy O' không thuộc mp(A'B'C').
Câu e
Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, A', B, C. Chứng minh rằng mặt cầu đó cũng đi qua B' và C'.Giải chi tiết:
Giả sử (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\rm{ }}{z^2} + 2ax + {\rm{ }}2by + {\rm{ }}2cz + {\rm{ }}d{\rm{ }} = 0.\)
Vì \(A, A',{\rm{ }}B, C \in \left( S \right)\) nên ta có hệ:
\(\left\{ {\matrix{ \matrix{ 4{\rm{ }} + 4a + d{\rm{ }} = 0{\rm{ }} \hfill \cr 36{\rm{ }} + {\rm{ }}12a + {\rm{ }}d = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \hfill \cr {9{\rm{ }} + 6b + d{\rm{ }} = 0} \hfill \cr {9{\rm{ }} + 6c + d = {\rm{ }}0} \hfill \cr } } \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = - 4 \hfill \cr b = c = - {7 \over 2} \hfill \cr d = 12. \hfill \cr} \right.\)
Vậy (S) có phương trình : \({x^2} + {y^2} + {\rm{ }}{z^2} - 8x - 7y - 7z + {\rm{ }}12{\rm{ }} = 0.\)
(S) có tâm \(K = \left( {4;{7 \over 2};{7 \over 2}} \right)\) và \(R = {{\sqrt {114} } \over 2}.\)
Toạ độ B', C' cũng thoả mãn (S) nên mặt cầu (S) cũng đi qua B', C'.
Câu g
Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng tọa độ (Oxy).Giải chi tiết:
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình \(z + {\rm{ }}D{\rm{ }} = 0 (D{\rm{ }} \ne 0).\) Khi đó \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi \(d\left( {K,\left( \alpha \right)} \right) = R\)
Vậy có hai mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với mp(Oxy) là:
\(z - {7 \over 2} \pm {{\sqrt {114} } \over 2} = 0\) .
Rất tiếc, câu hỏi này chưa có lời giải chi tiết. Bạn ơi, đăng nhập và giải chi tiết giúp zix.vn nhé!!!