Bài 94 trang 140 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi: Cho hình lập phương ABCD. A'​B'​C'​D'​ cạnh bằng a. Xét hai điểm M trên AD' và N trên DB sao cho  AM= DN= k (0< k <a ). Gọi P là trung điểm B'C'.

Câu a

Tính cos của góc giữa hai đường thẳng AP và BC'.
Giải chi tiết:
Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA' (h. 105).

Khi đó :
 

Ta có

Gọi là góc giữa hai đường thẳng và ta có :

Câu b

Tính thể tích khối tứ diện APBC'.
Giải chi tiết:
Ta có : ,

Vậy

Câu c

Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng (A'D'CB) khi k thay đổi.
Giải chi tiết:
Mặt phẳng song song với trục Oy nên có phương trình :
 
Vì mặt phẳng này đi qua nên ta xác định được p = q và n = -pa.
Cho p = 1, ta được phương trình mp là . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là
Từ giả thiết , ta tính được :

Suy ra
Ta có

Rõ ràng Suy ra MN song song với mp

Câu d

Tìm k để đoạn MN ngắn nhất.
Giải chi tiết:
Ta có

nhỏ nhất bằng khi (thoả mãn điều kiện ).
Vậy MN ngắn nhất bằng khi .

Câu e

Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD' và DB, đồng thời MN song song với A'C.
Giải chi tiết:
Khi MN ngắn nhất thì Khi đó
Ta lại có nên
Vậy MN là đường vuông góc chung của AD' và DB.
Mặt khác , chứng tỏ , cùng phương. Do   nên