Bài 93 trang 140 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-2; 1; 2), B(0; 4; 1), C(5; 1;-5), D(-2; 8; -5)  và đường thẳng

Câu a

Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện.
Giải chi tiết:
Ta có  suy ra


Lại có  nên
Do đó A, B, C, D là các đỉnh của một tứ diện.

Câu b

Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Giải chi tiết:

Câu c

Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD
Giải chi tiết:
Gọi là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, ta có :

Từ đó suy ra  Vậy và R = IA = 7.
Do đó, mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình :

Câu d

Tìm tọa độ các giao điểm M, N của đường thẳng d với mặt cầu (S).
Giải chi tiết:
Dạng tham số của đường thẳng d là :

Toạ độ của giao điểm của d và (S) thoả mãn hệ :


+) Khi t = 2 thì , ta được điểm
+) Khi t = 3 thì , ta được điểm
Vậy cắt (S) tại hai điểm và

Câu e

Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M, N. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng đó.
Giải chi tiết:
Gọi (P) là mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M.  Khi đó, (P) đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình của (P) là:


Gọi (Q) là mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại N.  Khi đó, mp(Q) đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình của (Q) là :


Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có