Bài 90 trang 139 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Câu hỏi: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d với mặt phẳng (P) có phương trình :

Câu a

Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P). Tính góc giữa d và (P)
Giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua điểm (12; 9 ; 1) và có vectơ chỉ phương Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
Vì nên d cắt (P).
Gọi A là giao điểm của d với (P), toạ độ điểm A(x; y ; z) thoả mãn hệ

Gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có :

Câu b

Viết phương trình mặt phẳng (P') đi qua điểm M0​ (1; 2; -1) và vuông góc với đường thẳng d.
Giải chi tiết:
Mặt phẳng vuông góc với d nên có vectơ pháp tuyến là vectơ chỉ phương của d. Do đó, có phương trình :
 hay

Câu c

Viết phương trình hình chiếu vuông góc d' của d trên mặt phẳng (P).
Giải chi tiết:
Hình chiếu của trên mp(P) là giao tuyến của mp(P) và mp, với đi qua d và vuông góc với (P). Như vậy, có vectơ pháp tuyến là :


Phương trình tổng quát của mp là

hay
Vậy hình chiếu   của trên mp là giao tuyến của hai mặt phẳng :
 và
Đường thẳng d' có phương trình tham số là

Câu d

Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B' sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BB'.
Giải chi tiết:
(P) là mặt phẳng trung trực của BB' khi và chỉ khi và giao điểm của BB' với (P) là trung điểm của đoạn thẳng BB'.
Ta có phương trình đường thẳng BB' là

Gọi H là giao điểm của BB' với (P) thì toạ độ (x; ỵ ; z) của H thoả mãn hệ :


H là trung điểm của BB' nên

Câu e

Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc và cắt đường thẳng d.
Giải chi tiết:
Đường thẳng phải tìm nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng (R) đi qua và vuông góc với d.
Mặt phẳng (R) có vectơ pháp tuyến nên có phương trình

Vậy là giao tuyến của hai mặt phẳng và suy ra có phương trình tham số là